LIVRE IV

Remarque 3. Si une fonction intermédiaire , telle que f„x devenait nulle avec x = a , on sait que fu—,a et fn+Ia seraient de signes contraires. Danscecas f„a, qui est nul, peut être omis ou pris avec le double signe ±, à volonté; car les quantités/„,a, /„ 4-,a étant de signes contraires , il y aura une variation de L’une à l’autre, soit qu’on omette f„a ou non.

Remarque 4. Supposons qu’on soit certain que/„.r ne change pas de signe de x—a à x~(l. Je dis qu’on peut se dispenser de calculer les fonctions suivantes, f„+,x, etc. En effet, si fa+ ,X change de signe, le nombre des variations comprises entre/,, et fu, inclusivement ne change pas; si f„+,x change de signe, le nombre de ces variations ne change pas non plus , etc. Donc pour x — a, les fonctions de /„ à fu ont le même nombre des variations que pour *=Ps par conséquent il est inutile de connaître ce nombre, et il suffit de savoir combien il y en a d efx àfn.

Que si /„ change de signe et que cependant on ne veuille pas calculer fu+t, f, +, , ou s* l’on ignore ce que devient f,

entre a et (i ; voici ce qui aura lieu : soit V’ le nombre des variations que présentent fa, fa ...fua; soit k le nombre des fonctions qu’on a négligé de calculer, nombre qui est au plus égal au degré de fx ; f+, détermine une succession de signes avec fx, ainsi que chacune des fonctions suivantes avec la précédente. Donc les fonctions négligées peuvent , au maximum , déterminer k variations, de sorte que le nombre total V serait au moins = V', et au plus = V+/r. On verra de même que v' étant le nombre des variations de ffi ,/'/? . . ./„/9 , v sera au moins=t/ et au- plus —v'-\-k; donc V — v aura pour minimum Vr — v' — k et poUr maximum V' — v'-{-k. Donc le nombre des racines réelles est compris entre le nombre des variations perdues par les fonctions calculées, plus et moins le degré de la dernière de ces fonctions.

Remarque 5. La dérivée f'x n’est pas la seule fonction qu’on puisse comparer à fx pour en déduire le nombre des racines réelles de^à; = 0. Pour qu’une expression F# puisse servir à cet usage, il suffit qu’elle soit première avec fx, qu’elle change de signe lorsque x varie depuis une racine de la proposée jusqu’à la suivante dans l’ordre des grandeurs. C’est en effet sur ces deux

ALGEBRE.

conditions que repose toute la démonstration de la proposition 45. Si b est une racine de/r = 0 , si de plus/(5 — h ) ctF(3— /t) sont de signes contraires, ainsi que cela a lieu pour f(b — h) et f(b — h), l’énoncé de la proposition reste le même; mais si f(b — h) et F(3 — h) sont de même signe, alors, en conservant les notations, V — v sera négatif et c’est v — V qui est égal au nombre des racines réelles.

Cela posé, si fx=:0 a des racines égales, et qu’on fasse les opérations nécessaires pour déterminer les f,x , fx .. ., on trouvera^, nul (prop. 40). Or je dis qu’il ne sera pas nécessaire de recommencer un nouveau calcul, et que pour appliquer le théorème il suffit de diviser toutes les fonctions fx , f x, fx, etc., par le plus grand commun diviseur de fx et fx.

En effet, soit

fx =z ( x — à)*(x — bŸ(x — c)y .... (x—a') (x — b') (x — c1) . . . .

la dérivée est (prop. 1 , r.) la somme des quotients d efx par chacun de ses facteurs du premier degré ; comme il y a « facteurs égaux à x — a , (i facteurs égaux à x — b , etc., on aura

fifx , yfx

fx

fx

fx

— u(x — a)*~'(x — b)^(x — cf .... (# — a!) (x — b’) (x — c’) ....

-f-(x — a)*(x — b)a(x — cf .... (x — b') (x— c')