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2 à 2 sont

Lorsque toutes les lettres que l’on considère entrent dans chaque résultat, c’est-à-dire lorsque n—m , les arrangements prennent le nom de permutations.

Les produits, arrangements, permutations, portent le nom générique de combinaisons.

PROPOSITION XXV. — PROBLÈME

Trouver le nombre des arrangements n à n de m lettres.

Nommons An le nombre de ces arrangements; supposons formés les arrangements n — 1 à n — t, de ces lettres at, a^....am, arrangements dont le nombre sera représenté par A# . Soit pris un de ces arrangements ... . an t , et soient mises à

la suite, successivement, les m — n-f-1 lettres restantes an,«n+I

am, chacune à son tour; on formera ainsi m — n-|-l arrangements à n lettres; chaque arrangement de la classe n — 1 , en fournira pareillement m — re+1 de la classe n ; donc les An t

arrangements de la classe n — 1 en donneront À n • (ro — n-f-1) de la classe n. Or, je dis que ces derniers arrangements sont tous différents, et que tous les arrangements possibles de la classe n, sont formés. Car si l’on considère ceux qui se déduisent d’un môme arrangement de la classe n — 1 , ils différent au moins par la dernière lettre, et si l’on en compare deux qui sont déduits de deux arrangements différents de la classe n — 1 , ils diffèrent au moins par l’arrangement que forment leurs n — 1 premières lettres. En second lieu , tous les arrangements nk n ont été formés; car, soit . . . . an a t un pareil arrangement :

si l’on fait abstraction de la dernière lettre, il reste a ...an, qui est de la classe n — 1 et a été employé à son tour; mais