LIVRE PREMIER
à sa droite ou a mis chacune des lettres qui n’y entrent pas;
donc aussi a . . ; donc a a, .... a a , . a été formé. n-f-1 2 J n n-f-1
Ainsi A = A , (m — n-f-1)
De même An, =An-2 (m— n-f-2)
etc.
Or, A( , nombre des arrangements de ni lettres une à une ,
est le nombre des lettres ou m;
donc A j m
Opérant comme ci-dessus , on a
An = m {m — 1) . . . (m — n+2) (m — n-f-1) = mnl— '.
PROPOSITION XXVI. — PROBLÈME
Trouver le nombre des permutations de n lettres.
A cet effet il suffit de faire m=n dans l’expression de An ; désignant par pa le nombre cherché, on a
Pa—n (n — 1) 3.2.1 = 1.2.3. ...nzz ln I1.
Pour résoudre la question directement, supposons qu’on sache former les permutations de n — 1 lettres, et soit pa t le nombre de ces permutations.
Parmi les lettres af, a2 ••••«„,» isolons-en une, par
exemple a , et formons les permutations des n — 1 autres; devant chacune de ces pa i permutations plaçons la lettre af , ce qui donne pn, permutations à n lettres; chacune des n lettres données, traitée de même, donnera également pn l permutations ; on aura donc en tout npn permutations. On prouvera encore
qu’aucune permutation ne manque et qu’aucune n’est répétée; donc • pn — npu i
Pa-t = (»-!)/»„,
Pï = 3P2 Pi = 2P,
ALckti RE.
Mais nombre des permutations d’une lettre, est 1; donc on aura Pa— 1*2.3 n.
Remarque. Ce problème est , comme on l’a vu , une suite de prop. 25 dont la prop. 24 peut être déduite aussi. En effet, supposons qu’on écrive sur une ligne tous les produits n à n de m lettres , le nombre de ces produits étant Pn ; permutons chaque
produit de toutes les manières possibles, ee qui donnera , pour chacun de ces produits pa permutations; le nombre total de ces
résultats sera donc P p ; or, ils sont tous différents , car les uns sont les permutations d’un même produit, d’autres proviennent de produits différents. De plus, ce sont les arrangements n à n de nos m lettres: car l’un quelconque de ces arrangements ne peut être qu’une permutation d’un des produits. Donc An=:P apa.
d’où P -
Pu
mnl— 1
comme plus haut.
* PROPOSITION XXVII. — PROBLÈME
Trouver le nombre des produits qu’on peut faire avec k lettres, en supposant 1° que chaque facteur puisse se répéter sans limite; 2° que chaque produit doive être du degré m.
Le nombre de ces produits est le même que le nombre des produits m à m de m-j-k — 1 lettres.
Pour le prouver, j’appellerai produits auxiliaires ceux de m-\-k — 1 lettres m à m, et produits cherchés , ceux dont il s’agit dans l’énoncé; je dis qu’à chaque produit auxiliaire il répond un seul produit cherché, et réciproquement.
En effet soient a^ , a2, . . «k(ro j les k-\-m — 1 lettres ; supposons qu’avec ces lettres on ait formé les produits de la classe m, et que dans chacun de ces produits les indices des lettres aillent en croissant, de sorte que la première lettre ait au moins l’indice 1 , la seconde, au moins l’indice 2, la troisième, au moins l’indice 3, etc., la m‘, au moins l’indice m. Actuellement, dans chacun de ces produits auxiliaires, je fais la réduction suivante : de l’indice du second facteur je retranche 1 unité, de celui du
LIVBE PHKMIER.
troisième je retranche 2 unités, etc., de celui du m" je retranche m — 1 unités. Toutes ces soustractions laisseront des restes positifs, et après ces mêmes soustractions il n’y aura plus aucun indice supérieur à h . Car puisque dans chaque produit auxiliaire les indices vont en croissant; celui du dernier facteur dans ces produits est au plus m-\-k — 1, celui de l’avant-dernier, au plus m-\-k — 2; celui de l’antépénultième, au plus m-)-/r — 3, etc.; celui du second au plus h~\- \ , et celui du premier au plus h. Mais de l’indice du second on retranche 1 ; de celui du troisième 2; de celui de l’antépénultième m — 3; de celui de l’avant-dernier m — 2; de celui du dernier m — 1 ; donc il restera au plus k. Il est donc prouvé que par suite de la réduction des indices chaque produit auxiliaire deviendra un produit de degré m, fait avec les k facteurs donnés. D’ailleurs deux produits auxiliaires différents ne donneront jamais, par cette réduction, le même résultat; car si l’on considère la série des indices dans chacun de ces deux produits auxiliaires, ces deux séries de nombres croissants sont différentes : donc si de chacune on soustrait terme à terme, la même série, 0, 1 , 2, 3, . .. m — 2, m — I , les résultats sont différents, sans quoi il arriverait que si à la série
des résultats on ajoute 0, 1 , 2 , 3 , m — 1 , on retrouverait
les deux séries d’indices différentes, qui affectent ces deux produits auxiliaires.
Reste à prouver que tous les produits cherchés auront été formés, ce qui sera fait si l’on prouve qu’à chacun de ces produits il répond un produit auxiliaire qui le fournira. Or soit a*'a*''a*''a(*v etc. un des produits cherchés; puisqu’il est
du degré m, on a • • • — m.
Décomposons-le en facteurs simples , de façon que les indices ne décroissent pas; il devient
aM
, a„a,ar a.a.an
Augmentons le second indice de 1 , le troisième de 2,... le m*
de m — I , je dis que nous aurons un produit auxiliaire. Car les
facteurs égaux à a{ , auront pour indices, après l’addition , les
nombres 1, 2,3...., 1— {— — 1 ; comme le premier des indices 2 est ^>1 , et qu’on y ajoute une unité de plus qu’au dernier
ALGEBRE.
indice 1 , il deviendra supérieur à celui que prend le dernier facteur , etc. Donc tous ces facteurs prendront des indices différents. D’un autre côté dans le produit donné, le plus grand indice est k; s’il est au dernier rang, il devient h-\-m — î; à l’avant-dernier, /i-f-m — 2 , etc.
Ainsi, après l’augmentation, il n’y aura pas d’indice supérieur à /r-j-wi — 1. Par conséquent le produit donné se change en un produit auxiliaire qui par la réduction des exposants refournit ce produit donné. D’ailleurs chacun de ces produits cherchés répond à un autre produit auxiliaire. Donc, etc.
Le nombre des produits auxiliaires est (p. 24) :
c est-à-dire — rr ou encore — ; r — rn
jm|l j(k-l)|l
Car ces deux factorielles réduites au même dénominateur auront pour numérateur commun *)l *.
PROPOSITION XXVIII. — PROBLÈME
Former le développement de (x-f a)m (Binôme de newton).
A la proposition 1 2 on a démontré que
en posant . . . -f-an
etc.
Sn=a,a2...fl„+ etc., etc.
Supposons maintenant que tous les seconds termes ai,a0...am deviennent égaux à a ; le produit (ar-l-^) (ar-f-n^) ... (x-|-am) devient (x-\-d)m ; S( devient a-)-a-j-...-|-aou ma; S„ devient a2 répété autant de fois qu’il y a de termes dans S2, c’est-à-dire P2 a"2; car (p. 24) P2 est le nombre des termes de S2 ; en général Pn étant
