LIVRE PREMIER

le nombre des termes de Sn, cette dernière quantité se change en P a" ,et an„ ... a en ani ; donc

(x-\-a)m= xm-\-rnaxm— 1-|-P2a2xnw 2+...-)-Pnan xm— am ; ou , mettant pour P2 Pn leurs valeurs (p. 24) ,

(1) (x-f-rt)m

:xœ4-maxm-1H : -Vx“-2h 1— — — Vxm-3-

—ï — «"x”’— n-f-, etc. H-rt“

Remarque 1. Le terme Pn«nxrt— " s’appelle le terme général; il a n termes avant lui , de sorte que son rang est n-j-1. Si dans ce terme on Tait successivement n égal à 1 , 2, 3, etc., on en déduit le deuxième, le troisième, le quatrième, etc., termes. Pour en déduire le premier, il faut y faire n =o , ce qui donne P0xm, où l’on remplacera Po par 1. — L’expression de Po, considérée à priori ne signifie rien : car le numérateur de Pn est le produit de n nombres entiers consécutifs décroissants, et le dénominateur, pris à rebours , aussi ; d’après cela , les deux termes de P0 seraient les produits de zéro nombres entiers, c’est-à-dire d’un noifabrc nul de facteurs , ce qui n’a pas de sens. Mais si l’on remplace P0 par 1 , Pcx” devient x”.

Ce terme général peut aussi se mettre sous la forme

lml»

a"xm — 11

à cet effet, il suffit de multiplier les deux termes par

(m—n) (m—n— 1) 3.2.1 ; le numérateur

m(m — 1) . . . .(m — n-1-1) se change alors en m(m — l)...(m — n-f-l)(m — n).. .3.2.1.... ou lm^'. Si, après celte transformation, on y fait n—o, on a

lmlI m 1 n

T X OU — r- x"

l°li.Hi 10I>

et pour que ce résultat soit exact, il suffit d’y remplacer 1°1 1 par l’unité.

algJîhre.

PROPOSITION XXIX. — THÉORÈME

Chaque terme du développement de (x-|-a)m peut se déduire du précédent; pour cela , il suffit : 1° de multiplier le coefficient de ce terme précédent par l’exposant de x dans ce terme ; 2° de diviser par le rang de ce même terme; 3° enfin , d’ajouter -f-1 à l’exposant de a et — 1 à celui de x.

Le terme de rang n-f-1 est Pn . anrm— n ; pour avoir celui de

rang n , il suffit de remplacer /i— f-1 par n, ou n par n — 1 , ce qui donne Pn t ta?”1— "+1 ; or, si l’on multiplie celui-ci par

m — n+1 , exposant de x, qu’on le divise par son rang n, qu’ensuite on ajoute H-l à l’exposant de a et — 1 à celui dex, on trouve

(rn— ra-M) an ,n p

Car (p. 24) P r=P . — — Donc l’énoncé de la pro-

position , appliqué au terme de rang n , donne en effet le terme suivant.

Corollaire 1. D’après cela, pour former, par exemple (.r-f-a)®, on opère ainsi qu’il suit :

Le premier terme est x *, ou a°xi; pour former le second, multipliez le premier par 8, exposant de x , divisez par le rang 1 , ajoutez -f-1 et — 1 aux exposants respectifs, et vous

aurez -f-8aar7;

multipliez ce deuxième terme par 7, divisez par 2 ,

ajoutez -j-1 et — 1 aux exposants -f-28 a^x6;

multipliez ce troisième terme par 6, divisez par 3,

ajoutez -f-1 et — 1 aux exposants -fHiffa3#5,

etc. , et vous trouverez

(xH-n)8 = a?8-|-8ax7-i-28a2ar6-(-56a!îx6-f-7 0rt4ir4-t-S6rt5.z^-)-

28a6^,2-f-8a7ar-|-a*.

Corollaire 2. La formule (1) , prop. 28 , étant identique pour toutes les valeurs de x et a, on peut y faire a— — a et l’on aura