LIVRE IV
Pour la corriger, on a
fi, 8820 327032
jf'2,8820~ 15917772000
= 0,00002054+ etc.
On a donc la nouvelle valeur 2,88202054; le calcul montre qu’elle rend/x négatif, tandis que cette même valeur, augmentée de (0,1)8, rendfx positif; donc x — 2,88202054+ ... à (0,1)8 près. Rien n’empêche de continuer ce calcul et de chercher huit nouvelles décimales.
Remarque. Cette méthode a sur celle de Lagrange l’avantage de fournir une approximation plus rapide. Mais quoiqu’elle ait très-bien réussi sur l’exemple qu’on vient de traiter, on voit, par les raisonnements sur lesquels elle est basée, qu’elle n’est pas d’une certitude complète, puisque les valeurs qu’elle fournit ont besoin de vérification. Aussi le nombre des tâtonnements qu’elle exige, par exemple sur le quatrième, le huitième, etc., chiffres, peut-il être assez long pour qu’on doive quelquefois préférer de rejeter le dernier chiffre qu’elle fournit. Du reste, complétée comme elle l’est par les additions de Fourrier, elle ne laisse plus rien à désirer sous ce rapport; car, ainsi qu’on va le voir, on est alors certain de l’exactitude de tous les chiffres qu’elle donne, de sorte qu’il ne faut, à chaque approximation, qu’une seule vérification pour savoir si la valeur trouvée est en excès ou en défaut.
*1. Il faut d’abord prouver que l’on peut arrêter le développement de/(a?+/i) z=.fx-\-lif'x->r ... au troisième terme, pourvu que dans/"x on remplace x par une certaine valeur comprise entre x et x-\-h; c’est-à-dire on va prouver qu’il existe un nombre & 0 et 1 , tel que l’on a
/(*+/*) =fx-h!ifx+ jr(x+&t t) , ou f(x-+-h)—fx—/ifx — ^-/"O+fr/t) ,
h étant fini ou infiniment petit à volonté.
A cet effet, considérant que f(x-\-h) — fx — lif'x est une fonction de h , on pose
O ) f O +4) —fx—hfx = (pli.
ALci.IîriR .
D’ailleurs, si l’on dévcIoppc/(.îM-/i) , tous les termes, à partir du troisième, sont des multiples de A’ ; on peut donc aussi écrire
(2) f(x+h)—fx—hfx — Mi\
A étant une fonction entière de x et de h , de sorte que < pli =. A /r ou — (jp/H-A/t1 z= 0.
Mais si dans cph on remplace h par 0 , son expression f{x->rh)—fx—hf'x , se réduit à zéro. On peut donc écrire
çiO — ( pli—kli1 — Q .
Relation qui prouve que l’équation suivante
(3) (pz— (pli— A(z* — h ’) = 0
a une racine égale à zéro; elle est aussi satisfaite par z = h; donc sa dérivée (p. 46, r. 6) a une racine entre 0 et h : soit l celle racine. La dérivée est
( p z — 2Az rz 0 , de sorte qu’on a
(4) y'I— 2kl = 0.
Or , vu l’équation (1) , on a
' (6) (pz —f{x-\-z) —fx—zfx ,
d’où (6) (pz z=f'(x-\-z ) — / 'x ,
car la dérivée se prend par rapport à z.
Cette relation donne <jp’0 = 0.
Ainsi l’idenlité (4) peut s’écrire ainsi
ÿ'O — ÿ7-)-2Af = 0 ,
et prouve que l’équation
( p'z — < pfl — 2A(z — [) 0
est satisfaite par z = 0 ; elle l’est aussi par z — L Donc sa dérivée (p"z — 2A = 0
a une racine entre 0 et /, et par suite entre 0 et h; soit 9-h celte racine, %)■ étant 0 et <^1. On a donc
(7) y'Wi-2A = 0 ; d’où A = 1 q>"&h.
Or, de (6) on déduit
donc (p"&h —f(x-\-d-h) et A z= -f"(x-+-{Hi) et la relation (2) devient
Ce qu’il faut démontrer.
On prouve de même que/(a?+/i) = fx-\-hf{x-\-dh) , (9)
â étant un certain nombre ^>0 et <^1.
*11. Si une fonction 1 fix et sa dérivée ne changent pas de signe depuis x — a jusqu’à x = b qui est^>a, le module de yix ira constamment en croissant de x — a à x = b , pourvu que yix, y/x soient de même signe; ce module de y/x ira en décroissant'de x = a à x — b, si y x et y/x sont de signe contraire.
En effet, soit i un infiniment petit positif; on a
tp(x- 4-i) = • ..
Mais dans iy/x-\~ = yix/'-\- ..., c’est iy/x , et par suite y;'x
qui détermine le signe; donc si yi'x est constamment de même signe, de a à b, et si ce signe est celui de yjx, il est évident que le module de yj(x-\-i) sera toujours plus grand que celui de yjx, et ce module croîtra avec x. Que si y/x est de signe contraire à yjx, ce module décroîtra.
* III. Supposons actuellement que fx = 0 ait une seule racine comprise entre a et b, b étant toujours a. On commencera par resserrer l’intervalle de a à A, jusqu’à ce qu’il ne tombe dans cet intervalle aucune racine de/'x=:0 , ni de fx = 0. Si cette condition est remplie, ni fx ni fx ne changera de signe entre x= a et x — b, et deux cas se présenteront.
ALGEBRE.
1 °fa et fa sont de même signe, ou 2° ils sont de signes contraires.
1° Dans le premier cas, représentons notre racine par 6 — fi , fi étant la correction. Dans la relation (9) on posera x — b — (i , h=fi , et on aura
fb =f{b-fi+8r<t-&+&{t) •
Comme b — fi est racine de/# = 0 , il s’ensuit que/(6 — fi) est nul, et on aura
, fl
Mais puisque fa est de même signe que fa, et que/"# ni fx ne change de signe de a à b, il s’ensuit que/'#, dérivée de /# est constamment de même signe, de a à b, et d’après 11, le module de/'# ira en croissant de a à b ; ainsi le maximum de
ce module sera celui de fb; donc fi^jrj et b- fi, ou #<6—^.
• En second lieu, représentons notre racine par a-\-a ; dans (9) on fera x — a, h — a, e t l’on aura
/(a+a) = fa-\-af(a->rda) , d’où , vu que a-\-a est racine ,
fa
f (flr+-da)
Donc
.. fa . „ fa
a>~jrh et a+a ou #>/a-— .
Ainsi on a pour # les deux limites
^ , fb fa
2° Si fa et fa, sont de signes contraires , le module de/# ira en décroissant de a à b ; par suite le maximum de ce module sera celui de fa, et dans ce qui précède on remplacera/6 par fa. Donc on aura
(ii).
Ici ou voit donc que pour appliquer la correction — — , il
faut d’abord faire en sorte que ni y x ni f'x ne s’annule entre nelb; ensuite on appliquera la correction à 6, si/'n et fa sont de même signe, sinon on l’appliquera à a qui est <(6.
Mesurons l’approximation : sa mesure est la différence des deux limites de x; pour (10) nous l’appelons D , pour (il) , D'*
fb '
soit fait b— a~ h ; on aura
^hfb-fb+f(b-h)
D- Jb •
Or, si dans (8) on remplace x par b , et A par — h, on transformera cette expression en
soit M la valeur de f"x dont le module est maximu A entre a et b, N celle de/x dont le module est minimum; on aura
Pour D' on a
bfa—far\-h}-\-fa
expression qui d’après (8) est égale à
hf (a-hd-h)
2 fa *
On a donc aussi
Au;l;nnii.
Ainsi , dans tous les cas, la mesure de l’approximation de a ou de b étant li — b — a , ta mesure de celle que fournissent
(10) ou (11), est
Supposons h < — , et ^ , on aura
Donc si dans une première approximation on a calcule n décimales, dans la suivante on pourra en calculer 2n-+-/*', et pour que cette nouvelle approximation ne se confonde pas avec la précédente, il faut que
2 n-\-h'^>n, ou — n.
.Si k était — n , il faudrait, soit par rapprochement des limites,
soit par tout autre moyen , calculer x d’une manière plus approchée que a et b, «
En outre, si l’on est conduit à employer b —
excès de moins que , on le calculera en moins; si on cal-
fb .
j~b> qu« est en
culait aussi en plus, la valeur calculée ne serait exacte qu’à
2 fb . .
— — — près. Ainsi on calculera — , en plus. Si au contraire on 10’"+' 1 fb r
fci
est conduit à employer a — ~~ qui est en défaut, on le cal-
culera en plus.
Dans chaque cas on sera certain de l’approximation , mais on n’en connaîtra pas le sens. Or une seule substitution le déterminera : car soit a1 une nouvelle valeur approchée , comprise entre a et b; si fa' est de même signe que fa, x sera compris entre a! et b; ainsi -a! est trop petit; si fa! est de signe contraire à fa, d est trop grand.
Nous allons appliquer cette méthode au calcul de la -racine positive unique de
■r’-f-SGa; — 201 =0.
Celle racine est comprise enlre 2 cl 3. D'a illemJfe f a=3x’-|-86 n\ f'x — Qx , ne sont annulés par des nombres compris entre 2 et 3. Le maximum de/"x enlre 2 et 3 est 18 ; le minimum de fx est 98 ; donc
