I.IVRE IV

De là la correction = 0,000000011973154 et a: = 2,2 11 4SI 888026846

à (0,1)'5 près. ... Le sens est inconnu.

Remarque. Ces différentes méthodes peuvent être employées à résoudre par approximation les équations, telles que

c’est-à-dire, à calculer 1^7, V'XZ, ...

Définition 18. V élimination a pour objet de trouver les solutions communes de plusieurs équations renfermant autant d’inconnues. Ce but est regardé comme atteint, lorsque les équations proposées sont ramenées à un ou plusieurs systèmes, dans chacun desquels il y a une équation à une inconnue, une seconde à deux inconnues, une troisième à trois inconnues, etc.

On se restreindra ici au cas de deux équations à deux inconnues , dont la résolution sera ramenée à celle de un ou plusieurs systèmes, composés chacun de deux équations, dont l’une au moins ne renferme qu’une inconnue.

Si l’on a deux équations de celte espèce, F(ar,y) = 0, (py~ = 0, on peut de la dernière tirer au moins les valeurs réelles de y, les substituer successivement dans F(x.y) = 0, et obtenir les valeurs de x correspondantes. Cependant si quelques valeurs de y ne peuvent être connues que par approximation, il sera difficile de mesurer l’approximation des valeurs de x qui y répondent.

PROPOSITION L. — THÉORÈME

Si les premiers membres de deux équations à deux inconnues se décomposent en facteurs , la résolution de ces deux équations se ramène à celle de plusieurs systèmes d’équations plus simples.

Soient M = 0, N = 0, les deux équations; supposons que M se décompose dans les facteurs M,M,M3 . . , et que N = N,N,N3. . . Tout système de valeurs de x et y qui annule M , devra annuler au moins un des facteurs de M ; de même tout système de valeurs de x et y qui annule N, annulera au moins un facteur de N; réciproquement tout système de valeurs de x et de y qui annule

ai.g1:bhe.

un facteur (le M avec un facteur de N, annulera M et N ; donc toutes les solutions finies des deux proposées sont données par les systèmes d’équations qu’on peut former en égalant à zéro un facteur de M avec un facteur quelconque de N , ce qui donne

M, = 0, N,=0 M,=0, N, = 0 |M, = 0, N3 = 0 | etc. M^O.N.rrO MJ = 0,Na = 0 etc.

etc.

Remarque. On se contente ordinairement d’opérer de la manière suivante :

On ordonne M par rapporta l’une des deux inconnues, x par exemple, et on cherche le plus grand commun diviseur des coefficients de x , lequel commun diviseur sera une fonction dey, indépendante de x , et pouvant se réduire à un nombre; soit a ce plus grand commun diviseur; posons M «A. Soit de même P le plus grand commun diviseur des coefficients de x dans N , et soit N = /9 A,. Il peut se faire que a cl P aient un facteur commun ; soit d leur plus grand commun diviseur, et soit a — du , P = dp1 ; on aura

M = d«'A = 0, X = dp'd,= 0.

Toute valeur dey qui annule d, annulera M et N, quel que soit x. Ainsi l’équation d — 0 donnera des valeurs déterminées de y, auxquelles on pourra adjoindre telles valeurs de x qu’on voudra.

Restent les équations a'A = 0, p'A, = 0, qu’on pourra remplacer par les systèmes

Dans chacun des deux premiers systèmes , il y a au moins une équation qui ne renferme qu’une inconnue; par conséquent ces deux systèmes seront regardés comme résolubles. Quant au troisième, pour en trouver les solutions, on y appliquera la proposition suivante, dans laquelle on n’oubliera pas que A ne renfermant aucun facteur indépendant de .r, ne peut devenir nul par la substitution de quelque valeur de y que ce soit. Il en est de même de A,.