LIVRE IV

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-, PROPOSITION LI. — THÉORÈME

Pour trouver les solutions finies communes à deux équations à deux inconnues A = 0, A, = 0, A ne renfermant aucun facteur indépendant de x, non plus que A, , on ordonne A. et A., par rapport à x, et l’on cherche le plus grand commun diviseur de A et A, , ayant soin : V de multipliér chaque dividende par le multiplicateur auxiliaire le plus simple qui puisse conduire à un quotient entier en y, et à un reste de degré moindre que le diviseur , par rapport à x ; 2° de mettre à part dans chaque reste tous les facteurs indépendants de x (p. 21), avant de prendre ce reste pour diviseur. Cela fait , on égalera à zéro le facteur indépendant de x de chaque reste , avec le diviseur qui a fourni ce reste , ce qui donnera autant de systèmes d’équations. Mais , dans le fqcteur fourni par le second reste , on supprimer ç. son plus grand commun diviseur avec le multiplicateur du premier dividende ; dans le facteur du troisième reste, on supprimera son plus grand commun diviseur avec le produit du second multiplicateur auxiliaire par le premier déjà divisé par le plus grand commun diviseur précédent , etc.; enfin dans le tlernier reste on supprimera son plus grand commun diviseur avec le produit des multiplicateurs auxiliaires précédents , excepté celui du dernier dividende, produit déjà divisé par les plus grands communs diviseurs précédents.

Les différents systèmes d’équations ainsi modifiées donneront exclusivement toutes les solutions finies des équations proposées. (Théorème de Mi Labatie).

I. Soient à, a,, a, ...ai les multiplicateurs auxiliaires de dividendes, Q, Q, , Q, ...Q, les quotients; fy, fiy, fy. . .fy les facteurs indépendants de x dans les restes représentés euxmêmes par A ,fy, A} fy, etc.; oh aura les identités (p. 21)

(1) Au =A,Q+A Jy,

(2) A,rt, = A,Q,-+-A3f,y', •'

(3) ’ A,a, = A3Q,-i-Aff,y.

C7!) Ai«3 = Afji-y-Affy,

Ai a, — A,+,Qh-/j,

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A LG k BR K.

La dernière opération étant supposée représentée par cette dernière équation, le dernier reste fy est indépendant dé «. D’ailleurs chacune des quantités A, A, , A,, A3, etc.,' est première avec toiitè quantité indépendante de x (p. 21).

•On a prescrit de prendre pour a, a, ... les fonctions les plus simples: il est toujours possible, après l’opération, de reconnaître si cette condition est remplie , et dans le cas contraire de ramener les choses à l’état où elles se trouveraient si elle avait été remplie dès l’abord. En effet tant que a et/j no sont pas premiers entre eux, a n’a pas été déterminé de là manière la plus, simple: car supposons que a et /paient un facteur commun, r ce facteur est indépendant de x; nommons le yiy. L’identité (1) • donne •.

Comme — , — sontentiers, I est aussi ; mais A, est premier

avec 1 ji qui ne renferme pas X; donc (p. 13) y divise Q,. Par conséquent si au lieu de multiplier A par a, on l’avait multiplié

par —, on aurait enoore eu un quotient entier — . Donc si a est

w . yy • •• -.

déterminé de la manière la plus simple, il est premier avec fy, et si on ne l’a pas déterminé de la manière la plus simple, on divisera (1) par le plus grand commun diviseur de a et /.Nous supposerons donc que a soit premier avec /, o, avec /, , etc. , et nous ferons voir plus bas qu’il est toujours possible de prendre, d’avance des mesures telles que ces conditions sdîent remplies.

Du reste a étant premier avec fy, il s’ensuit que a, Q , fy, sont premiers 2 à 2. Car tout facteur commun à 2 de ces quantités serait indépendant de x, puisque net/lesont; donc si, par exemple, Q et /^ avaient un facteur commun, en vertu de (1) il diviserait A a, et étant premier avec A, cbmme on vient de le rappeler, il diviserait a qui ne serait pas premier avec/. Il en est \ de même dans chacune de nos divisions. Ainsi- en général a„ , Q„,/, sont premiers 2 à 2.

D’après l’énoncé, il faut : • •

1° Égaler à zéro A , et fy, ce qui donne A, = 0 , fy — 0. • . • -