LIVRE IV

2“ Supprimer le plus grand commun diviseur de /, et de a; soient d et// les quotients; on posera A,=:0 avec // =0.

3° Supprimer le plus grand commun diviseur de /, et a'a, , en divisant d’abord par celui de a, et /, ; soient ,// les quotients; ensuite on supprimera celui de «' et// , soient a" et //' les quotients. On posera A3 = 0 , //' =0.

4° Supprimer de même le plus grand commun diviseur de/t et a"a',a ,, et en général , à commencer de /, , supprimer le plus grand commun diviseur entre chacun des facteurs représentés par la lettre/, et le produit des multiplicateurs a, a,, a, ... des divisions antérieures à celle qui a fourni ce facteur/, ,/, , etc. , en ayant soin d’employer ces multiplicateurs, tels que les suppressions précédentes les ont transformés.

Les systèmes d’équation

A . = 0 , f— 0 ; A, = 0,//=0; À3=0, //=0, etc. (a)

donneront exclusivement toutes les solutions finies des proposées.

C’est ce que nous allons prouver.

II. Je dis que toutes les solutions finies des proposées sont données par les systèmes (a). En effet , parmi les identités (l) , (2), etc., j’en prends trois consécutives de rang quelconque, que je suppose être

(1 ) Aq — i.s, — , — A„ — iQn— A „ /,«,

(2) A„, a„, = A„ Q0,+An+/n 1

(3 ) A „ — An+,Qn —f—A,

Entre les équations (2') et (3') éliminons A„+1; en rassemblant dans le second membre les termes en A„, et représentant par C la somme des multiplicateurs de cette quantité, on a

A„ — 1 . Un — 1 . Qu — A„ . C An-l-^/’n — i/,»

Supprimons le plus grand commun diviseur de/„ et a„, ; ce diviseur, qui est indépendant de x , est, par suite premier avec A„, et divisera C; représentons ce que devient l’égalité précédente, par

A„, . a'„, .Qu=A„.C'— A„+/n, ./„'.

Entre cette équation et (!') éliminons A0, ; réunissant dans

462 alcIwbb;

le second membre les termes en A„ 3, on a un résultat de la forme

A„4 . . C' = A„, . D+A n+ifn-* • fn-1

Supprimons dans cette équation les facteurs communs à a„, et ce qui transforme ces quantités en , et puis

les facteurs communs à a'„, et à/„' , ce qui donne a"„ , et représentons de plus par D' , ce que devient D par suite de ces divisions; l’égalité précédente se transformera en

An— J • fl"n— , .C’ — A„, .D'-(-An+, 'fn—i ’fà—\ -fa -

En remontant ainsi jusqu’aux identités (4), (3), (2), (1), on remarquera que : 1° à mesure qu’on remonte à une autre identité, les facteurs etc., subissent une suppression de plus; 2° ces suppressions s’étendent sur un facteur de plus; 3° les indices de A diminuent d’une unité, hors celui de An+,, qui ne change pas; 4° les indices de a diminuent d’une unité, et en même temps a prend un accent de plus; ô° les facteurs qui affectent respectivement A„, A„ , , etc., dans les seconds membres, viennent passer comme multiplicateurs de A„ , , A„, , etc. , dans les premiers membres. Cette loi des indices et des accents permet d’écrire la série des égalités qu’on obtiendra en remontant jusqu’à A ; la voici :

(1") AD, .«'n,Q0 = A„.C'-A

(2”) An-, . o"n,.C' = An-, .D'+A„+, ./„”

(3”) An — 3 . a"’ n, .D’ = A„,.E— A„+, ./„3

(n) AaCjL = A.Bt+A^//,' fV

Actuellement je ferai sur n une première hypothèse. Je le supposerai égal à i; dès lors A„+, = Ai+, = 1. L’équation (n) prouve que tout système de valeurs de x et y qui annule A et A, , annulera /// f"f ... /,('), et comme celte dernière expression ne renferme pas x, c’est la valeur dey qui l’annule. Donc toute bonne valeur finie dey, est racine de, l’équation