LIVRE IV

ou ce qui revient au même, est racine de l’une des équations

En second lieu, je suppose que n soit l’un quelconque des nombres 0,1,2 .../'

Parmi les systèmes («) , considérons le suivant An+, =0, /ê+,'^=0.

L’équation (n) prouve'quc si une solution des proposées , par exemple, x — h, y—l, est telle quey = / annule /^j* sans annuler/, //, f" ... /(nn', cette solution annulera nécessairement A„+1; car A et A, devenant nuis, si l’on substitue celle solution dans (n) , il faut que le dernier terme s’annule, ce qui, d’après l’hypothèse qu’on a faite, exige que A^, devienne nul.

1° Soit n = 0 , il s’ensuit que les bonnes solutions qui n’annulent pas A, et/, mais qui répondent aux valeurs de y tirées de // = 0, annuleront A,.

2° Soit n~ 1 ; il s’ensuit que, si des valeurs dey annulent f" sans annuler / ni /,', les valeurs de x qui leur répondent proviennent de A3 = 0, et ainsi de suite.

Enfin que, si des valeurs de y annulent /('), sans annuler aucun des facteurs précédents , les valeurs de x qui leur répondent annuleront Aî j,.

Donc, comme il n’y a pas d’autres bonnes valeurs finies dey que celles que donnent (a) , il n’y aura pas d’autres bonnes solutions que celles des systèmes (a).

II. Il est donc prouvé que les systèmes (a), donnent toutes les bonnes solutions finies. Je dis que réciproquement toutes leurs solutions finies sont bonnes.

A cet effet reprenons les relations (1") , (2”) , etc., en supposant que n soit l’un quelconque des nombres 0, 1,2..../.

Soit x—p, y—q, une solution du système An+1 = 0, / ^ =0. Je dis qu’elle annule A et À,.

Pour le prouver substituons cette solution dans l’égalité (3') ainsi que dans (1") (2"), etc.... (n); mais commençons par substituer la valeur dey.

ALckBnE.

Comme y — q est racine de/'Ô^O. Cette substitution annulera etc., qui ont toutes / ^ pour facteur. Ainsi dans ccs relations , les derniers termes disparaissent. Aucune autre des quantités qui entrent dans ces égalités ne s’annulera. Car si yr=-q annulait A , y — q diviserait A et de même des autres , ce qui ne se peut, A, A, , A,, etc., ne renfermant aucun facteur indépendant de x. En second lieu a'0, est premier avec et ne saurait s’annuler en même temps que est premier avec f", et ne

saurait s’annuler en même temps que ce facteur, etc. Ainsi a'a, , a"„, , ... se réduiront à des nombres sans x, ni y.

Enfin Q„ étant premier avec /„ (on sait que dans chacune de nos divisions le multiplicateur du dividende, le quotient, et le reste, sont premiers 2 à 2). Q„ ne saurait être nul en même temps que/„. Ainsi dans (1") le premier membre ne devient pas nul; mais le terme An+, le devenant, il est impossible que A„.C' le devienne; C’ ne s’annule donc pas. On reconnaîtra de même qu’aucune des quantités D', E, etc. L , M , ne s’annule. Dans ces quantités y disparaît, puisque nous le remplaçons par q; pour abréger nous ne changerons pas les notations qui les représentent.

Les relations dont il s’agit se réduisent donc à

AD — , (i i.A„+, Qo, An — , .u’n— i Qn An— a . C ;

A„, o"», . C'=A„a D1; etc.

A, o,(«+,).K=AaL;AaWL=A1M.

Multipliant entre elles toutes ces égalités , hors la dernière, on trouve, simplification faite,

(w) A,Xao.an — i «S n — a • •# — An-|- 1 . L

multipliant celle-ci par la dernière ci-dessus, on a

(y) A Xaa. a'„, . a".a . . .= An.+., M

Remplaçons dans («) et (y) x par p ; A„+, s’annule, vu que y=q, x=q est une solution de = 0, A„+, = 0. Donc A et A, s’annulent aussi, et la solution x =p,y—q est bonne.