LIVRE IV

Ce raisonnement s’étend à- tous les systèmes (a), puisque rien n’empêche de supposer successivement n = 0, 1, 2

Donc les systèmes (a) donnent toutes les solutions finies des proposées, et réciproquement.

1er Exemple.

A=x3-hx’( — 3y-t-3)-f-x(3y’ — 6y — 1) — y3+3y’+y — 3=0 A ,=x’+x(2y+4)-|-y’H-4y4-3=0.

Aucun de ces polynômes n’ayant des facteurs indépendants de x, on procède aux divisions. La première n’exige point de préparation ; ainsi a— 1

* M-*’ ( — 3y-t-3)-Hr(3y — 6y — 1 ) x’-|-x(2y-+-4 )

— r3+3r’+r- 3 -hr’-i-4y+3 reste +ar,( — 5y — l)-f-x(2y’ — lOy — 4 J — etc.... x — 5y — 1 reste -(-x(l 2y’— )— 1 2y)+4y 3H-24y’+20y

Ce reste se décompose en

4(r'+r)l3*+r+sl

Faisant abstraction du facteur 4, on a

fr=T'~ HT» et A,=3i+y-f-5.

On divise À, par A,, après avoir multiplié A, par 3.

3x’-|-x(6y-(-12)-f-3y’-|-12yH-9 3x~f-y-f-5 ’ reste -f-x(5y-)-7) etc. x, 5y-|-7

On multiplie encore par 3, de sorte que a, =9

3x( . 5y+7 )H-9yH-36yH-27 reste 4y’+4y — 8 — /,y.

On a donc les deux systèmes A ,= 0 ,fy=z0; A, = 0,y’,y=0. Comme a— 1 , et que par suite ni fy ni /,y n’ont de facteur commun avec a, on conclut que toutes les solutions finies de ces deux systèmes sont bonnes et réciproquement. L’équateur /y=0 ouyH-y=0 donney=0,y= — 1. La valeur y=0substituée dans A, donne x’-t-4x-j-3=0 d’où x— — 1 et x — — 3.

La valeur y = — 1 substituée de même dans A, donne x’+2x = 0 d’où x = 0, x— — 2.

ALGEBRE.

Quant au système A ,= 0,/,y = 0 , cette dernière équation donne y — — 2cty=l,

valeurs qui mises dans A, =0, donnent respectivement x— — l , x~ — 2,

de sorte que les solutions des équations proposées sont y= 0 , X — — 1 ; — 2 , .r = — 1 ,

2e Exemple.

M = a?3y-H»’(— 3 y' — 9y)-H£(3yM-18y’-|-23y)

— y'< — 9y3 — 23y* — 15y = 0 N — jr’(y*+l )+ar,(3j’ — 3)-Hr(3y3 — 3y’ — 7 y — 1 )

M renferme le facteur y, et N le facteur y-|-l, qui sont premiers entre eux.

On a donc les deux systèmes y=0 , A, = 0; y+1 = 0, A = 0 , et on divise A par A,

A — - Ai =

= x3-+-x2(— 3y— 9)-+-x(3y2-t-18y-t-23) x"!-4-x5(3y— 3;-l-x(3y2— <îy-l) — yl-9y2— 23y— 15-4- -t-y^— 3y2-y- 1-3

reste a:2(— 6y-6)-t-x(12y-t-24)— 2y3— 6y- i

Ici « 1 ; ce reste se décompose en

2Cr-H) (— 3æt’+12x— y1— 2y— 9) ; d’où , négligeant le facteur 2, on a

f y—y-\-\ , et À, = — 3x*-y-\2x — y’ — 2 y — 9.

Pour continuer, on multipliera A, par 3 , on peut aussi multiplier A, par — 1.

3x3-t-x2l9y— 9)-t-x(9y2— 18y— 3)-+-3y3 — 9y2— 3y4-9 3x2— 12x-*-y2-i-2y-f-9 reste -t-x2(9y-t-3)-t-x(8y2— 20y— 12)-+- etc. x-t-3y-t-l

reste -+-x 8y2-+-16y)~ 16y2— 32 y;

ce reste renferme le facteur 8 qu’on négligera ; ensuite /. y =y’4-2y, et \3 = x—2 ;