LIVRE IV

d’ailleurs fl, = 3. Divisant A, par A3 = x — 2, on a un reste indépendant de qu’on peut obtenir en faisant x=2 dans A, (p. 9), et qui est f.yxzy'~\-<2y — 3. Aucun des facteurs/, f, , f, n’a de facteur commun avec a, a,. Donc on aura pour les équations proposées les solutions des cinq systèmes

Les solutions du premier sont :

• yz= — 1 , avec*— 0, x= 2, x = 4;

celles du second :

y— 0, avec .r = 1 , .r == — \ , x — 3; celles du troisième :

y— — 1 , avec x — 0, x = 2,ar=4; celles du quatrième :

y= 0, avec x~l, x— 3, et y— — 2, avec x—\,x— 3;

enfin le dernier donne

x — 2, avec j = 1 , et y = — 3.

3e Exemple.

A — ( y3 — r1) x3-\~x (y — 1 )-|-r — 0 A.=*V’— l)+*(r-lH-2=0: •

Le premier coefficient de A est y'(y — 1) , celui de A, ,

(y— 1) (y+1); on multiplie donc A par y+1 — a;

xKy— i)(r+i)*M-*(r’~ i)+ra-hr *3(rw *)-!-■*(/— 1)+2

reste +x(— y3+2j1— 1)— y’+y y1

Le reste contient le facteur y — 1 , et donne

fy—y- 1 , A, = x(— j’-j-j-t-l) -yi

468 ALGEBRE.

En divisant A, par Aa, il faudra multiplier A, par — 7M-7-+-I •

1" reste -Hr7(-(-ÿ3— y)-t- ...

yS—‘2yt>+2y3-¥-%y'!— y— 1

Il faut multiplier ce reste par — qui esl; premier

avec — jr3— J— 1 , et continuer

+2ji--4j3— 2j’H-4j+2 2e reste x(j5— 2j4+j3+j’-f-/— 1) + etc.

On multiplie par — 7M-7-M , parce cfüe le coefficient y5— etc. , est premier avec — ; on continue

3e reste j6+4 j5+/4— 8j3— j’-+-5j+2 ==/, .

Ici d’ailleurs a, = (— j’-f-j+l)3.

/ et a ont pour plus grand commun diviseur a ; ainsi / , — ■/’-(- 57' — 4/* — 4j’’+3j+2 — 0 avec Aa=0.

En outre y — 1=0 avec A, =0; màis si l’on faitj=l dans A, , il se réduit à 2 , de sorte qu’à cette valeur de y il ne répond aucune valeur finie de x.

Quant à l’équation /,' = 0, elle n’a point de racines commensurables.

. 4e Exemple.

A —yx3 — 3.r-+-l =0, (y — l)ar’+a; — 2 = A, = 0.

On trouve ici

a = (/—!)’ , A, = ar(j’— 5j+3) — j’+lj— 1 , /= 1 ,

/ = ys — 1 0/M-37/3 — 64j’-|-52)- — 1 6.

Ici a est facteur dans/,, et il vient

Les racines de cette équation sont