LIVRE IV

L’équation A, = 0, pour y— 2, donne x=\ , et pour y = 4, elle donne x — — 1.

•5e Exemple.

A “ ,r5(y — — 5j^-— |— 3 = 0, A, =yr’-|-9.r — 10y = 0.

« —y, Q =r-l , f= 1 , A, = (— 7y+9>-}-5y’— 7 y. a, = (—774-9)’ ,/, = 25/’ — 7 Or * — 1 26y5+4 1 4y’-243y = 0.

Ici f— 0 ne donne rien;/, et a ayant pour plus grand commun diviseur y, on divise f, par y, et l’on a

/,' = 2ôy « — 7 Oy’— 1 26y’+4 1 4y— 24 3 = 0 avec A, = 0.

Cette équation en y donne

y = 1 , y — 3 , et 25y’-+-30y— 81 =0

pour déterminer les deux autres racines qui sont incommensurables.

A, = 0 pour y— 1 , donne, x— 1 poury=3, x — 2.

6e Exemple.

A = ,r,y,-j-.r,(y'1 — 4y)-|-.r(yi — 2yJ — 5y',-f-y-|-4)

A, zzx3y— 2a:,+ar(y3— 2y’— 3y-|-l)— yM-2y-|-3 = 0.

On aura

a =1, Q =y,/=y1— 2, A, =yx'— 2x+l ; a, = 1 , Q, = x, f, =y’ — 2y — 3 , A, = xy— 1 ; a,=y, Qt— x—t,f,=y—t.

Les systèmes

donnent les bonnes solutions et point d’autres.

Remarque 1. Nous avons prescrit d’employer dans chaque division le multiplicateur auxiliaire le plus simple. Quoique celle précaution ne soit pas indispensable, cependant il est bon, pour

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simplifier les calculs, de chercher à obtenir dans chaque cas, pour le multiplicateur, l’expression la plus simple.

Considérons, par exemple, le multiplicateur a; dans la pratique, on ne détermine pas a d’avance, ce qui n’est pas toujours possible s’il s’agit d’en obtenir la détermination la plus simple; dans chaque division partielle, on cherche le multiplicateur nécessaire , et il a été prouvé (p. 18, r.) que le produit de ces multiplicateurs est la valeur de a. Or, je dis que si dans chaque division partielle le multiplicateur est premier avec le reste, le produit de ces multiplicateurs sera aussi premier avec le reste définitif. En effet, soient m, m' , m",... les multiplicateurs employés dans les divisions partielles de A par A,; q, q' , q” ... les quotients; A1, A", A'" ... les restes. On a

(1) km =k,q~\-k!

(2) AW=Al9'+A"

(3) A'W'=3A,?"-hA'"

etc.

De plus a=.mm'm" ... (p. 18, r.).

Or, si q est de la forme Rrn-f- ••• q' , qui est la

suite du quotient, est tout au plus du degré n—m — 1 , et peut être représenté par S pouvant être nul.

Cela posé, je dis que si m est premier avec A’, il l’est avec A". Car soit y—X un facteur premier de m : de deux choses l’une, ou il divise m' , ou il ne le divise pas. S’il divise m' , qui est premier avec A", y — X ne divisera pas A" ; si y — X ne divise pas m, faisons y ^.X dans l’équation (1); le premier membre km devient nul, vu que y — est un facteur de m; mais A, , q et A1 sont premiers avec m; donc ni k,q ni A' ne deviendront nuis, et pour que k,q-\-k' le devienne, il faut que k,q et k! deviennent des polynômes du même degré par rapport à x : soit If ce degré; soit l le degré auquel se réduit A, ; celui auquel se réduit ne sera pas inférieur à n — w ; on a donc

Posons également y = Xdans l’équation (2) ; AW ne devient

î.i vn b iv.

pas nul ; si A" était divisible par y — ô, A" deviendrait nul; donc A 'ni', ou A' se réduirait au même degré que A,q', ce qui ne se peut; car q' étant au plus du degré n — a) — 1 , et A se réduisant au degré l, il s’ensuit que A' se réduirait au plus au degré I-+-11 — a) — t , tandis que nous savons qu’il se réduit au moins au degré l-+-n — a». Donc A1' ne s’annulera pas; donc m est premier A", et m' l’étant aussi, il s’ensuit que mm! l’est. Actuellement éliminons A' entre (1) et (2), nous aurons

Kmm! = A. (gm-+-q')-\-A" avec M'm" = A, <7"+ A'".

Le raisonnement qu’on vient de faire prouve que mm", qui est premier avec A", l’est avec A"' si m" l’est ; donc mm' ni" l’est aussi, et ainsi de suite.

Remarque 2. Si les derniers termes des équations A =: 0 , A, =0 sont plus simples que les coefficients des premiers, on

facilitera les calculs en remplaçant x par - ; les facteurs en y 11e changeront pas, et quant aux équations en x, on pourra y remplacer de nouveau x par — .

Remarque 3. Il peut se faire que le reste indépendant de x soit nul. Supposons, par exemple, qu’on ail

A,a, = AuQ,-hA/i

A.rtj — AjQ.,+/.A4

Ajflj = A;Q3.

Dans ce cas A4 sera le plus grand commun diviseur de A et A , , qui pourront se mettre sous la forme

A = A4A', A, = AjA'.

Toute solution qui annule A4, annulera A et A,; ainsi les proposées admettront les solutions indéterminées de l’équation A- = 0. Mais elles admettront en outre les solutions des équations A' = 0, A','=0. Or, pour trouver celles-ci, il n’est pas nécessaire

AI.cliBRB.

de recommencer un nouveau calcul. Car les équations ci-dessus, divisées par A-, donnent :

et comme — » t- sont entiers en x et y , les solutions de ces A4 A4

équations seront déterminées par les systèmes

^=o,/,Mr=o.

Remarque 4. Il n’est pas indispensable de préparer les dividendes de façon que les quotients soient entiers : on peut opérer par quotients fractionnaires, réduire le quotient et le reste au dénominateur commun le plus simple, et supprimer ce dénominateur. Car la relation Aa — A,Q-j-A,fy est la même chose

. Q A 2fr que A — A, — | — .

PROPOSITION LH. — PROBLÈME

Étant donnée une équation entre x et y, dont le premier membre n’ admet aucun facteur indépendant de x, et une seconde équation en y seulement , reconnaître , sans chercher aucune valeur de y, combien la première équation donne de valeurs finies de x pour chaque, racine de la seconde.

Soient ... -}-Ci,1æH-Ci, := 0 la pre-

mière équation, C, C, ,.. C„ étant des fonctions dey qui n’ont aucun facteur commun à elles toutes; soit Fy = 0 la seconde équation. Pour qu’à une valeur y = $• tirée de cette équation répondent n valeurs finies de x, il faut et il suffit que cette valeur de y n’annule pas C, ou que y— ^ ne divise pas C. Par conséquent , si l’on peut décomposer Fy en deux facteurs , dont