LIVRE PREMIER

= x'° — max

a%xm— * —

H- , etc. ita™ ;

ce dernier terme aura le signe -+- si m est pair , et le signe — si m est impair.

PROPOSITION XXX. — THÉORÈME

Dans le développement de (aH-a)m, les coefficients des termes également distants des extrêmes , sont égaux.

Le terme qui en a ,n avant lui est Pnanxm— n. Quant à celui qui

en a n après lui, il en aura m — n avant lui ; car le nombre total des termes est m+l , puisque les exposants de x sont les nombres 0 , 1 , 2 , .... m ; si de ces m-|- 1 termes on supprime les n derniers, il en reste m-\- 1 — n, dont le dernier en a, en effet, m — n avant lui. Ce terme est donc P a'n— “ . a”; car, en général, le terme qui en a A-* avant lui est Pk . k , et si

k—m — n, il devient P . <im— °.x". Or,je dis que P =P ce qui peut se prouver de deux manières.

1 ’ En général , P, = (P- 28 - r0

Remplaçant k par m — n , on a

| ml i

p = ce qui est aussi la valeur de P . (n. 24b

m— n jm— ni ■ ^ nu * n 'r /•

2° Pn est le nombre des produits » à n de m lettres , Pra est le nombre des produits m — n à m — n de ces mêmes lettres. Or, prenons un produit de la classe n , par exemple, . a ; à

ce produit répondra le produit a ( . .'. . «m des m — n lettres restantes; de même à chaque produit de m — n lettres répondra le produit des n lettres qui n’y entrent pas. Donc il y a autant de produits de l’une de ces classes que de l’autre, et P =P

* Autrement . On a (af-j-a)"1 = x“-f-P1axni— '+ -f-

P .... f.p «ni 0j.ii , , p am-'x-\-a"' ;

ALGEBRE.

Changeons ici a; en « et a en a?; il vient (a+x)m— a-M-P^n" M- hPnxnam n-4-...+Pra nscm-nan

-+- H-Pm 1ic“ 1 .n-f-a?".

Ces deux quantités sont identiques; car (a?-|-a)m est la même chose que (a-Hr)m; donc les termes affectés des mêmes puissances de x, sont égaux de part et d’autre; ainsi

d’où P .^P.-etc.

Corollaire. Celte proposition simplifie le calcul des puissances des binômes, puisqu’il suffit de calculer les coefficients jusqu’au milieu du développement.

Au moyen de cela et de la prop. 29 , on prouve

(4a2-r3 — 5«ô3.r)7 = (4 a2j.'3)7 — 7 (4a2x3)f;(5a63x)-)- 21 (4a2x3)5(5aô3^)2- 3Ô(4a2J3)4(5«ô3x)3+35(4a2x3)3(Ôflô3x-)« — 21 (4«2j^)2(5a63.»)54-7 (4a2.»3) (5 aô3a?)e — (5 ai3#)7. Il ne reste plus qu’à faire les puissances de deux monômes.

On remarquera du reste que le nombre des termes étant

m+1 , si m est pair il existe un terme qui a — termes avant et

autant après lui ; ceux qui viennent à la suite de ce terme du milieu , ont dans les mêmes coefficients que ceux qui le

précèdent , mais dans un ordre inverse. Si m est impair, le nom-

bre des termes est pair : les termes de rang

et de rang — [-1 =

, se suivent, et sont à égales dis-

tances des extrêmes : ce sont les deux termes du milieu , ils ont dans (a-f~x)m des coefficients égaux; à la suite de ces termes, les coefficients de ceux qui précèdent se répètent dans le même ordre.

* PROPOSITION XXXI. — THKORÈME.

. Dans la suite des expressions P , Pt , P0 . . . . Pm , la somme des

termes de rang impair est égale à la somme des termes de rang pair et à 2m— *. - .