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plus grand commun diviseur entre le quotient et le diviseur qui a donné ce quotient. On parviendra ainsi à chasser de Fy tous les facteurs premiers qui divisent C; le quotient qui sera premier avec le diviseur qui l’a fourni , sera çy; divisant C par (py , on a yiy.

Cela fait puisque toutes les valeurs de y tirées de i py — 0 annulent C, l’équation en x ély se réduira à

C,j?n '—yCaa?0 a ... —}— Cn ~zz 0

pour donner les valeurs finies de x qui répondent à i^y=:0. On comparera donc ifiy à Ci , afin de décomposer ifjy en deux facteurs (p,yX ifiy dont le premier <py soit premier avec C., , tandis que rp.y ne renferme que des facteurs premiers qui di-

ALGEBRE*

visent C,. À chaque racine «1e <p,y= 0 répondront n— 1 valeurs de x , tandis que pour chaque racine de y,y= 0 il y aura au plus n — 2 valeurs finies de x.

Ainsi rien n’empêche de décomposer Fy en facteurs qui égalés à zéro donnent des valeurs de y à chacune desquelles répondent des valeurs finies de x en nombre connu.

Il faut appliquer ceci à chacun des systèmes (a) de la proposition 51 ; car il est bien reconnu que les solutions finies de ces systèmes (a) sont bonnes; mais on n’a rien prouvé quant à leurs solutions infinies.

Du reste si dans A=0, À,n:0, on fait# = -^,etqu’ensuiteon

cherche les valeurs de x' et dey, pour chaque couple tel que y— y, x* — 0, les proposées admettront une solution y =■ y , x— ao . On trouve semblablement les solutions telles que y— oo , x — k , et enfin celles qui sont de la forme y — <x> , x — oo .

Définition 19. Etant données deux équations à M = 0 , N := 0 , à deux inconnues x et y, et dont les premiers membres n’ont pas de facteur commun; on appelle équation finale en y l’équation dont le premier membre est le produit des facteurs qui donnent les bonnes valeurs de y, chacun de ces facteurs étant élevé à une puissance dont le degré est égal au nombre des valeurs finies de x qui répondent aux valeurs de y que fournit ce facteur égalé à zéro ; de sorte que pour former cette équation en y, il faut commencer par chercher les facteurs a, fi' (prop. 50), ensuite fy, fi'y, fi" y ... (prop. 51); comparer chacun de ces facteurs à l’équation en x qui y répond, et le décomposer d’après la proposition précédente; a' se décomposera ainsi en plusieurs facteurs dont chacun devra être élevé au degré marqué par le nombre des valeurs finies de x qui répondent à ce facteur égalé à zéro; il en sera de même de fi, fy, fi'y, etc.

* Remarque . Cette définition de l’équation finale est loin d’être convenable, surtout si l’on veut avoir égard à toutes les solutions <jue les deux équations peuvent admettre, savoir les solutions infinies tout aussi bien que les solutions finies.

Pour la définir d’une manière plus précise, nous supposerons deux équations, l’une de degré m, l’autre de degré n, par rap-