LIVRE iv

port à x*. Soient ces deux équations

xm-'-{-b,xm—‘+ • • • +*m = Ô , ex" -f -c,xn~' ■+-c,x',~t-\~ . . . +en = 0,

les coefficients b, b, ... c , c,, etc. , sont des fonctions de y de tel degré qu’on voudra , et dans ces fonctions les coefficients des puissances de y sont des lettres toutes différentes et indépendantes les unes des autres. Il résulte de là que ces polynômes fonctions île y sont premiers 2 à 2. Car soient deux polynômes tels que

kf-\-k, y— H- . . . -f-Z'i , et . . . -\-V\ i

pour qu’ils aient un facteur commun quels que soient

k , k , ... k,, k, etc.,

il faudrait que ce facteur subsistât, si l’on fait tous ces coefficients nuis, excepté k, k„ k'; mais dans ce cas les polynômes deviennent

ky'+k, et A'y ' ,

et n’ont point de facteur commun.

Cela posé, on fournira les moyens de trouver l’équation en y qui donne toutes les valeurs de y capables de satisfaire aux deux proposées en même temps que des valeurs de x; cette équation sera l’équation finale des deux proposées , et si dans les propoposées ainsi que dans l’équation finale on donne aux coefficients et aux exposants des valeurs particulières , ces trois équations deviendront numériques, et nous regarderons la troisième comme l’équation finale des deux premières.

* PROPOSITION LXIII. — THÉORÈME (de M. LaBATIe).

Soient les équations

bxm-j- ... H-bm = <jp(x,y) = 0, et cxn+ ... -j-ca=rp(x ,y) = 0 Nommons fi, , fi, . . . fim , les racines de la première résolue

' Dans co qui suit le degré est toujours pris par rapport à x. à moins d'avis contraire.

■ ALufcnnE.

par rapport à x; y, , y, • • . y„ celles dë la seconde , résolue de même ; le produit des différences entre chaque racine de la première et chaque racine de la seconde sera une fraction irréductible ayant pour numérateur une fonction entière de y, et pour dénominateur b” . cm.

En effet on a

q>(*, y) = A(x —ff) (x — ff) ... (x — /?„)

d’où

(p(y,, y) =b(y,—fit) ... (y,— /3m)

?(y» r) = b{y-ft) (y>-/3,) • • • (y*-/3™)

• etc.

9>(y»» r) = %»—/*.) (y-— /3,) . . . (y„— /3in)

ApellonsP le produit des mn différences (y, — /?,) ... (y„ — /?„) , et multipliant toutes ces égalités (n) entre elles, on en déduit

<jp(y.,j) X ...X(p(ya,y)=bn .P.

Or toutes les expressions (p (y,, y), etc., sont des fonctions entières de b, b,, A, ...; donc Av . P est aussi une fonction entière de A , A, . .. Am.

Mais on a aussi

i//(x, y) = c(y —y,) (y —y,) ... (y —y,). D’où •

vO9' > r) = c(/3. -y.) (/*■ -y») — O*, -y») yfr » r) = c O*, —y.) (/*» — y.) ••• 03» -y»)

etc.

Si l’on fait le produit dè ces équations (m), le second membre contient comme facteurs les différences /î, — y, , etc., prises ici avec des signes contraires à ceux dont elles sont affectées plus haut. On a donc

y(ff, , y)x . . . tp(j 3ro , y) = ±cmP.

Or, ip(x, y) est une fonction entière de r, c, ... c,; donc c"'P et par suite AncraP est une fonction •entière de c