LIVRE IV

aussi bien que de A, ... bm. Nommons F cette fonction, de sorte que

. F = b"cm P; d’où P= - — .

b"cm

Reste à démontrer que cette fraction est irréductible.

Or , on a F = = c"X(jp(y • > y)X . . • <p(y» . y),

ou, vu l’expression de q>(x, y),

F = cmx(6yr+ . . . -f -b J) (6y • • • +A„)X . . . (4y.--h •

Les facteurs polynômes de F sont tous de la forme ôy,,n-)-U ; leur produit donnera pour F une expression de la forme

F = Dô"+D1ô0— H -4-D„,

polynôme entier par rapport à toutes les lettres b, b, ...c, c, . . . ainsi que nous l’avons prouvé; et comme il est impossible qu’ii y ait généralement réduction entre deux termes affectés de puissances différentes de b , les coefficients D, I), .. ., tous indépendants de b, sont entiers, et aucun d’eux ne sera nul. Donc F est premier avec b, et par suite avec 6" ; on prouve de même qu’il l’est avec cm; donc le produit P est une fraction irréductible, ayant pour numérateur une fonction entière de y, et pour dénominateur cmb\

Corollaire 1. L’équation qui donne toutes les valeurs de y qui font partie des solutions des deux équations proposées , est F = 0. Car, pour qu’une valeur de y fasse partie d’une solution de ces deux équations, il faut et il suffit qu’à cette valeur de y réponde dans les deux équations une même valeur de x , c’està-dire que cette valeur de y rende l’une des racines /9, , /9a .. . égale à l’une des racines y,, y, ... y„, ou enfin qu’elle annule l’une quelconque des mn différences fi, — y, ... fim — y„, ou leur produit P. Mais pour qu’une valeur de y annule P ou son égal , , F

la fraction irréductible - — , il faut et il suffit qu’elle annule F. b°cm

Donc F = 0 donne toutes les bonnes valeurs de y.

Cela posé, si l’on donne aux coefficients et aux exposants des valeurs numériques, nous regarderons F = 0 comme l’équation

ALGÈBRE

finale des deux proposées. Il peut se faire que dans ce cas les coefficients b, b, ...bm aient des facteurs communs : cela n’empêchera pas F = 0 de donner toutes les bonnes valeurs de y.

Corollaire 2. Deux équations cp(x, y)=zO, yj(x,y) = 0, étant données, si l’on suppose que de la seconde on tire les valeurs de x pour les substituer dans (p(x , y) , le produit

gp(y. » r) ■ 9>(y> » r) • • • 9>(y» » r)

est égal au premier membre de l’équation finale , divisé par le premier coefficient de l’équation y/(x, y) = 0, d’où les valeurs de x sont tirées, coefficient élevé au plus grand exposant de a: dans l’équation cp(x, ÿ) = 0 dans laquelle elles sont substituées.

Car y(y.,r).ÿ(y,,r) ••• 9(y»> y) = b«- p —

* proposition liv. — théorème (de M. Labatie).

Pour trouver l'équation finale de deux équations , M = 0 , SV — 0, dont les premiers membres n'ont pas de facteurs communs, on cherchera les facteurs indépendants de x dans M; soit a le produit de ces facteurs et M = «A ; de même N = (i. A, , (i étant le produit des facteurs indépendants de x dans N. On opérera ensuite sur K et h,, comme pour en chercher le plus grand commun diviseur (p. 21). Cela fait, on élève a à une puissance d’un degré égal à celui de A, et (i à une puissance d’un degré égal à celui de A ; on élève chaque facteur indépendant de x dans les restes, au degré du diviseur qui a fourni ce reste; on élève te coefficient du premier terme de chaque diviseur à un degré égal au degré du dividende diminué de celui du reste; le produit de toutes ces quantités, divisé par le produit des multiplicateurs auxiliaires élevés , chacun au degré du diviseur correspondant , sera le premier membre de l’équation finale.

Outre les relations M = aA, N — /SA, , reprenons les notations et égalités de la proposition 51.