LIVRE IV

Aa = A,Q -+-A,/yy A.a, = Aa0.H-A3/,j,

Ajrtj = A3Q,-hA)/,j,

(* — i — 1 ) A;fl,

Nommons F =0 l’équation finale de M = 0, N = 0 ,

idem.

idem

•idem

Fi+, = 0

idem

Soit b le premier coefficient de x dans A,, fib sera celui du premier terme de N = /?A„ Soit m le degré de A ou de M, n celui de A, ou de N. Si de l’équation /ÎA, = 0 ou N = 0 on tire les valeurs de x pour les-substiluer succssivement dans M — «A ,

le prodqit des n valeurs que prendra M sera (p- 63).

Mais ces valeurs de x sont les racines de A, = 0, et si on les substitue dans aA, pour faire le produit des n valeurs que prend ce polynôme , c’est qu’on obtiendra le produit des n valeurs de A par aa ; mais le produit des n valeurs de A est (p. 53, c. 2) F,

~ , puisque F, zz 0 est l’équation finale de A zz 0 , A, = 0 , et

b le premier coefficient de A,. Donc le produit des n valeurs de

a\ est mais ce produit est aussi > donc

ou

bmSm bm F = «"/3mF,.

Considérant maintenant l’égalité (1), supposons que l’on y substitue successivement pour x les n racines de A, =0, qui,

AI.fiV.BRK.

annulant le terme A ,Q, et n’altérant ni a ni//, donneront n résultats de la forme ka-K-fy; supposons qu’on fasse le produit de ces égalités résultantes; les valeurs de A a donneront a"

multiplié par le produit des n valeurs de A, qui est ^ ; soitÆ le degré de A, , le produit des n valeurs de A^/y sera multiplié par

■ - puisque F,=0 est l’équation finale de A,=0, A, = 0 (p. 53, c. 2). Ainsi

flnF -fa p

— ou«"F,=/"i"-k.F,. (2')

6“ bk J '

Nommons t, s,, les coefficients des premiers termes de A,, A3, A4...; k, kx, k,...., les degrés de ces polynômes par rapport à x. Si l’on substitue dans (2) les k racines de l’équation A, = 0, on aura de même

(3) donnera

etc.... .

et

«i‘ i— • F^., —fi'-'

Car dans (u) la substitution de chaque racine de Aj+.zd), réduit le second membre à/].

Multipliant entre elles ces équat. (1') (2') (3'),etc.(u), on en tire

a”/5m 1 1 .ô"-1 .s0— li .s,v— l* . .. »

résultat identique avec l’énoncé.

Remarque 1. Rien ne suppose dans cette démonstration que l’on ait supprimé exactement les facteurs indépendants de x dans les restes; rien ne suppose non plus que les multiplicateurs auxiliaires de a, a, , a,... soient les plus simples possibles. On peut donc se dispenser de toute espèce de précaution sous ces deux rapports; mais les calculs seront toujours plus simples si l’on s’astreint à ce qui a été prescrit à la proposition 51.

Remarque 2. L’équation finale F = 0 donne toutes les valeurs finies de y; en s’aidant de la proposition 51 , on reconnaîtra