LIVRE IV

quelles sont celles de ces valeurs auxquelles répondent des valeurs finies de x , et on pourra former les équations qui donnent ces valeurs de x. Par conséquent on saura aussi quelles sont parmi ces valeurs de y celles auxquelles répondent des valeurs infinies de#. Quant aux valeurs infinies de y, pour en trouver

le nombre, on peut dans les proposées remplacer y par - , chercher ensuite leur équation finale, et autant cette équation finale aura de racines milles, autant celle des proposées aura de racines infinies. On peut aussi déterminer le nombre des valeurs infinies de y d’après la remarque suivante et la proposition 55.

Remarque 3. Pour déterminer le nombre des solutions communes à deux équations A = 0 , A, = 0 , il faut comparer chacune de ces équations à une équation générale, mais dont la composition doit être telle , que ces depx équations générales admettent tout juste autant de solutions finies et infinies que les proposées. Pour cela il faut que dans l’équation générale à laquelle on compare A = 0 , aucune des inconnues ne soit affectée d’un exposant plus grand que dans A = 0; mais si dans A le plus grand exposant de x est m et le plus grand exposant de y, ni' , il faut que l’équation générale soit de la forme

bxtD-\-blxb 1 — | — ... — ôm xz 0 ,

Chacun des coefficients b, b, ... bm étant un polynôme complet du degré m' par rapport à y, tel que gym'-+-g<ym'~ '+ ••• -+-gm'*

En effet, représentons par X = 0, YrzO les deux équations générales ainsi obtenues; on pourra déduire A et A, de X et Y en donnant à g, g,, etc.,* des valeurs numériques dont quelquesunes pourront être nulles. Donc les solutions finies de A=0, A.zzO seront en même nombre que celles des équations générales. Je dis qu’il en est de même des solutions infinies. Car considérons

d’abord les solutions où x est fini et y* infini : posons y = - , et

chassons les dénominateurs. Soient A', A,', X', Y', ce que deviennent A, A, , X, Y; les polynômes transformés seront par rapport à y des mêmes degrés repectifs que les proposés par rapport à y; quant à x , les degrés n’ont pas changé. A', A,' pourront encore être regardés comme des valeurs particulières de X', Y',

ALUÉBRE.

comme A, A, le sont de X et Y ; et les équations A' = 0, A,' = 0 admettront autant de solutions finies queX'=0, Y' = 0; mais si A = 0, A, =0 admettent des solutions où x est fini et y est infini, dans A' =0, A', = 0, elles répondront à des solutions finies; elles auront donc leurs correspondantes dans X'=0, Y' = 0 et par suite dans X = 0, Y = 0; il peut fort bien se faire que dans ce dernier système les solutions correspondantes soient finies. On raisonnera de même pour toutes les espèces de solutions des proposées. Donc les solutions tant finies qu’infinies, des équations A = 0, A, =0 seront en même nombre que les solutions de X = 0, Y = 0, et il peut se faire que les solutions de ces dernières soient toutes finies, ou qu’elles ne le soient pas toutes.

* PROPOSITION LV. — THÉORÈME

Soient deux équations X = 0, Y =0, telles que

X = bx”>-t-b ,x“- ’+ . . . -H>m = 0 ,

Y = cx° -f-c,x“1 -f- ... -t-cn = 0.

Supposons que b, b, ... bm soient du degré m' par rapport à y et ça , . . . c„ du degré n' ; l’équation finale sera du degré

na'n-f-n'm.

Comme, pour trouver l’équation finale, rien n’empêche d’introduire dans les dividendes tels multiplicateurs qu’on veut , et de ne supprimer aucun facteur dans les restes, nous supposerons qu’on opère de cette manière.

Soit rn^n; dans la première division, pour arriver à un

reste de degré moindre que le diviseur, on aura à faire m — n-f-1 divisions partielles. Ainsi on multipliera par cm~ “+1 et le premier terme du dividende aura pour coefficient bcm~ qui est du degré m'-{-n'(m — n-f-1) — y; le quotient aura pour premier terme bcm-"xa'-a ; il sera par rapport à y du degré m'-f-re' (m — n), vu que c et b sont des degrés n! et m' ; le reste sera par rapport à y du même degré que le dividende. Ainsi dans la seconde division, on aura à diviser c.r"-f-e1ar0— '-4- . . .

UVBE IV.

par un polynôme tel que d+^'+c/,.*:"- ’+• . . +dn,, où les coefficients d, d, .... sont du degré — n+1). On

multipliera le dividende par. le carré du premier coefficient du diviseur, parce qu’il n’y a à faire que deux divisions partielles; le premier coefficient du dividende ainsi modifié sera cd‘ et son degré sera

les coefficients du reste seront de ce meme degré, et ce reste sera de la forme exa~*-+-elx''~'-\- le nouveau dividende aura pour premier coefficient de* qui est du degré

et en général le degré en y de chaque reste suivant sera égal à celui du reste qui précède de deux rangs , augmenté du double du précédent; tous ces degrés étant pris, bien entendu , par rapport à y.

Actuellement nommons k, la quantité m'+n'(m — n+1) , degré en y , du premier reste.

Les degrés de nos différents polynômes sont

1er dividende

en x m

en y m 1

1er diviseur

1er reste

2e reste

3e reste

n — 2e reste

etc.

n — Ie reste

tf a — l

ne reste

. 2/rn,+A:n J

~/rn

Le premier membre de l’équation finale contient au numérateur (p. 54) le produit des facteurs indépendants de x, élevés chacun au degré du diviseur correspondant; or nous n’avons à considérer que le dernier reste qui est du degré k„ , tandis que le diviseur correspondant est du premier degré. Ce facteur est donc du degré k„.

ALciiBnE.

Il nous faut de plus les coefficients des premiers termes des diviseurs, élevés chacun à un degré égal à la différence entre le degré du dividende et celui du reste, par rapport àx Les degrés en y, des premiers termes des diviseurs sont rapportés cidessus : ce sont

La différence entre le degré du premier dividende et celui du premier reste est m — n-j-1 ; les autres différences sont égales à 2; ainsi le degré du produit de ces facteurs sera

n'(ni — /i — J — — \- 24*,— | — 2A"a — | — . . . -f-2An, , et le degré du numérateur en question sera

Quant au dénominateur il se compose des multiplicateurs auxiliaires , élevés chacun au degré du diviseur par rapport à x.

Or le multiplicateur n’est autre chose que le premier coefficient du diviseur élevé à un degré marqué par le nombre des divisions partielles à faire; ces premiers coefficients sont, en y , des degrés respectifs

le nombre des divisions à faire est, pour les différents dividendes, respectivement

m — n-j-l , 2, 2 ... 2; enfin les diviseurs sont, en x, des degrés n , n — 1 , n — 2 ... 1 ; donc le degré du dénominateur est

D' — nn'(jn— n— |— 1)— )— 24*, (ti — 1)— |— 2A,(ti — 2)— |— ... — f-24*u lf

et le degré de l’équation finale sera

Mais si l’on prend les équations (1), qu’on les multiplie à partir de la dernière, par les nombres 1,2,3... 7i — 1 , on a