, — fi/iQ 3 — i — 3/rn

Ji/r„3 z= 8A'd 4 4-4/r0 3

(n -2)4-3 = 2(n— 2)4-HH>-2)*,

(n — 1)4-, — 2(n — l)4-,+(ft — l)n'.

Ajoutant toutes ces équations, on trouve

4nr=24-„,-4-44-n 3+64-n/(-+-...+24-J(n— 3)-+-4-,(3«— 4)+(n — l)n\ En vertu de cette relation , la valeur de D — D' devient

D — D' —nk, — ( n — l)n'(m — /i+l)+(n — l)n'

— nk, — n'(n — 1) (m — n) = nk, — n'n(rn — n)-\-ri(in — n). Or 4r, = m'-\-n'(ni — n-f-1) — m'-f-n’-t-n1 (m — n)

D — D' — ni' n-j-n' m.

Tel est le degré de l’équation finale des équations générales qui ont autant de solutions que les proposées. Si dans des cas particuliers, ce degré est moindre, cela lient à ce que les premiers termes de l’équation finale deviennent nuis, c’est-à-dire à ce qu’il y a pour y des valeurs infinies, valeurs dont le nombre sera la différence entre in'n-\-n'm, et le nombre des valeurs finies de y.

‘PROPOSITION LVI. — PROBLÈME

Trouver les racines imaginaires d’une équation à coefficients réels , qui n’a pas de racines égales.

lro Méthode. Soit l’équation fx — 0; ses racines imaginaires

sont de la forme y-j-zV' — 1 , y et z étant réels. On fera donc x—y-\-zV/ — 1 , et l’on aura

f{y+Z^~\) —fy Z-f"y+ ~f"y- CIC.

H-z^-Tij/y- o/"'y-f----j=o.

480 ai.gLbi\iî.

équation qui se partage dans les deux suivantes :

Chaque solution réelle de ces deux équations fournira un couple de racines imaginaires de la proposée ; car si l’on trouve y — a, z =; fi, on aura

x — u±(iV' — 1.

La question est donc ramenée à l’élimination.

Exemple. fx~x3 — Sx — 7 =0; posant x-y~\-zV' — lf on a

fr— ^r/"r+ • • • =r3— 6r— 7 —3 y*1 = o , fy— §73 /mr+— =3/*— 6— 2* = o.

Éliminant z, on trouve pour y l’équation S/3 — 12/4-7 =0 ; elle n’a qu’une racine réelle, qu’on pourra calculer avec tel degré d’approximation qu’on voudra. L’équation 3/’ — 6 — z1 r= 0 donnera la valeur de z.

2e Méthode. Chaque couple de racines imaginaires cc±/9 répond à un facteur réel du second degré. Si doue on savait déterminer les facteurs réels du second degré du polynôme fx , on saurait trouver les racines imaginaires en résolvant des équations du second degré. Pour trouver ces facteurs , on divise^ par — tx-\-u t t et u étant deux inconnues. On pourra pousser

la division jusqu’au reste du premier degré en x; ce reste sera de la forme

et pour que x'-P-tx-^-u soit diviseur de fx , il faut que ce reste soit nul, quel que soit x ; il faut donc que u et t soient déterminées par les équations

< /)(« , 0 = 0 , ip(« ,0 = 0.