LIVRA IV

Chaque solution réelle de ces deux équations donnera un facteur réel du second degré. Ces facteurs , égalés à zéro , donneront les racines imaginaires chacune une fois , et les racines réelles plusieurs fois.

Si les coefficients des racines imaginaires, ou seulement les coefficients des facteurs du second degré qui leur répondent étaient commensurables, il n’y aurait pas de difficulté. Mais dans le cas où ces quantités seront incommensurables, il pourra être difficile de distinguer les (acteurs qui donnent les racines imaginaires de ceux qui donnent les racines réelles.

PROPOSITION LVII. — PROBLÈME

Etant donnée une équation fx:=0, trouver une autre équation dont les racines soient les différences des racines de la proposée prises deux à deux.

Soit m le degré de l’équation proposée; nommons a, , a,... ses racines ; on a

fx — ix—a,) 0?— «,) ... ( x—am ).

L’équation cherchée doit avoir pour racines les différences

Dans ce tableau il y a m colonnes, dont chacune contient m — 1 différences, ce qui fait m(m — 1) différences , comme cela doit être (I. 1 , p. 25). -

S’il s’agissait de former l’équation qui a pour racines les différences de la première colonne, cette équation aurait pour premier membre

«3) ••• (/+«.— du,),

expression que je nomme (py.

ALCÎiBRE.

On voit que si dansai: on remplace x par /H-a. , le résultat est

ce qui est égal à /ç/.

Il suit de là que l’équation -/(/-f-a,) = 0a pour racines les

différences contenues dans la première colonne.

De même l’équation — f(y+-a,)=.0 donne celles de la seconde, etc., et - /(/+«„,) = 0 donne celles de la dernière.

La question est donc réduite à former une équation qui ait pour racines toutes celles des m équations

= ° - l- /(r+«.) = 0 » etc. i/(r-+-aœ) = 0.

Mais ces racines ne sont autre chose que les valeurs de/ dans les solutions communes des deux équations

Car si l’on connaissait les racines a, , a, . . . am de la première , les valeurs de y qui leur répondent seraient données par les m équations ci-dessus.

D’un autre côté, pour avoir toutes les valeurs de / qui font partie des solutions communes aux équations (1) , il suffit d’climiner x entre ces deux équations. Donc l’équation aux différences n’est autre chose que L’équation finale en /, des équations (1), dont la seconde prend forme

ou , vu que fx est nul ,

/*+fr*+

c’est donc l’équation finale en y de celte dernière et de fx ~ 0 qui est l’équation aux différences.