LIVRE IV

Remarque 1. L’équation aux différences ne renferme que des puissances paires de y. Car la différence a, — a, est égale et de signe contraire à a, — de même toutes ses racines sont deux à deux égales et de signes contraires. Donc (prop. 29, r.) y n ’y est affecté que d’exposants pairs. Comme le nombre des différences est m(m — 1), si l’on pose m(m — l)=2u, l’équation aux différences est de la forme

On pourra poser y' — z,e t elle devient

za—\— C,2n | J— }— ... — [ " C n — 0.

Cette équation en z, qui a pour racines les carrés (a, — a ,)’, ( a3 — a, y, etc., se nomme l’équation aux carrés des différences.

Remarque 2. Si l’équation proposée fx=0 a toutes ses racines réelles et différentes , l’équation aux carrés des différences sera complète et n’aura que des variations de signe. Car les valeurs de x étant réelles et inégales, les carrés des différences seront tous positifs et différents de zéro. Donc (prop. 24 , c. 4) l’équation en z sera complète et n’aura que des variations de signe.

Réciproquement, si l’équation en z est complète et n’a que des variations, l’équation en x aura toutes ses raciqes réelles. Car si x avait une valeur imaginaire a-hftY' — 1 , il en aurait une seconde a — — 1 ; la différence de ces valeurs est 2^J/ — 1, dont le carré est — 4/9’. Donc z aurait unit valeur négative, et l’équation en z serait incomplète, ou bien elle aurait au moins une permanence.

Il ne faut pas conclure de là que les valeurs positives de z proviennent toujours des racines réelles de la proposée; elles peuvent provenir aussi de racines imaginaires qui ont la partie imaginaire commune, telles que a-hfîY' — 1, a! Les valeurs négatives de z peuvent aussi provenir de valeurs ima- . ginaires de x qui ont la partie réelle commune, telles que

a+fiV'—X , a+(¥V'—\ , ou d’une valeur réelle , telle que a ,

avec une valeur imaginaire a 4 -flV' — 1.

Mais dans tous ces cas il y a des racines imaginaires dans

49° algIsbre.

fx— 0. On voit aussi que pour qu’une équalion/r ==0 ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffît qup l’équation

2'H-C1z’,—+Cîzn-,-b • • • +C„ = 0 ,

n’ait que des variations de signes et soit complète, de sorte qù’on aura les conditions

C, <0, Ca^> 0, C3 <0 > etc.,

au nombre de u ou m^'n — 1), p,a proposition 47 n’a donné que

m — 1 conditions, ce qui prouve que celles que fournit l’équation aux carrés des différences, ne sont pas toutes distinctes.

Car m — 1 nest jamais plus grand que — -, puisque la

diStaa» -(„-!) =-("»~ 1>— =

quantité nulle si mxz 1, ou m — 2, et positive dans tout autre cas.

Remarque 3. Il y a une infinité d’équations qui conduisent à la même équation aux carrés des différences : s\fx — 0 est une de ces équations toutes les autres sont comprises dans la formu \ef (7t±a;) = 0, h étant un nombre quelconque indépendant de x. En effet, il est évident, 1" que si l’on change les signes de toutes les racines de fx = 0 , les carrés des différences ne changeront pas; 2° que si toutes les racines augmentent ou dimi- * nuent de. la même quantité, ces carrés ne changeront pas non plus. Donc l’équation f(h±x') = 0 a la même équation aux carrés des différences, quel que soit h. En second lieu , pour que l’équation aux carrés'des différences ne change pas , il faut et il suffit que l’équation aux différences ne change pas. Or les m — 1 différences. a, „ — a,, am—a3 ... am — a,n, déterminent toutes les autres : car soit am — a, = cl, , a,u — a, = d3 . . . am — am, — dm—, , on tire de là a,— a, =. d , — d, , etc. Soit une seconde équation ayant pour racines b,, b3 ... bm. Supposons bm — b, = d, , et