LIVRE IV. 4gi

bk — b^—dt. Si bk n’est pas égal àim, la seconde équation ne présentera pas la différence d, — d,. Donc elle n’aura pas la même équation aux différences. Ainsi on aura bm — A, = d,. On verra de même que bm — b3 = d3, etc. Donc si bm — am—h, on a aussi b, —a, — h, b% — a* — h, etc. ou bm b , = a,-f-A, b, =,

, etc.

Parmi toutes ces équations il y en a deux qui manquent du second terme, et qui sont de la forme

xm-\-p,xm— '±p3Xm~ — 4±p;,.rm—5-~|- , etc., = 0 ,

les signes supérieurs se correspondant d’un côté, les signes inférieurs de l’autre.

Corollaire L’équation aux carrés des différences peut servir à résoudre les équations numériques.

En effet , soit/r = 0 une équation qui n’a ni racines commensurables , ni racines égales. Si dans celte équation on substitue les nombres entiers compris entre les deux limites extrêmes, et qu’on trouve moins de changements de signe qu’il n’y a d’uni- * lés dans le degré de l’équation , on calculera l’équation aux carrés des différences , et l’on prendra la limite inférieure des racines positives de cette équation : soit â2 cette limite; â sera moindre que le module de la plus petite des différences réelles

n,— Hi , U3— , etc., a ^ — 1 — — Unj.

Deux cas se présenteront : si â est 1 , on pourra substituer dans/# la progression 0, â, 2d, 3$, .., L et la progression 0, — d, — 2<J,.., — L'. Si deux termes consécutifs nâ , (wH-l)d' .donnent des résultats de même signe, on est certain qu’entre ces deux nombres il ne tombe pas de racine : car s’il y en avait, elles seraient au moins au nombre de deux (p. 43), et par suite leur différence serait moindre que (n-f-l)d — nâ ou â, ce qui ne se peut. Au contraire si f(nâ) clf(n-\~\)ô sont de signes différents, nâ et (/H-l)<ÿ comprendront une racine et n’en comprendront qu’une par une raison semblable.

Si â est)> 1, il est inutile de faire de nouvelles substitutions; car dans ce cas deux nombres entiers consécutifs ne peuvent comprendre qu’une racine. Donc chaque racine réelle sera

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indiquée par un des changements de signe qu’on a trouvés en substituant les nombres entiers compris entre L et — L' , et réciproquement. - /

Ainsi les racines se trouvent séparées. Mais ces calculs peuvent se simplifier ; on peut d’abord remplacer â par une valeur de la

forme - , k étant un nombre entier. Car soit â — ^ ou = - • k * p P

toute valeur plus petite que - peut être prise pour d; soit donc

k le nombre entier immédiatement supérieur à - , on pourra