LIVRE PREMIER. 5l

Prenons la formule

(aj-f-d)™ = P„a?m+P ,xm—' +P.Jar,n— ’-f- f-P«.am

et faisons x—azz 1 ; elle devient

2raz=P„-(-P1-{-P a ( P 3-+- , etc. H-P m Si l’on y faif a;=l , a— — 1 , elle devient

0=P„ P,+Pj P 3~ f— » CtC. — Pm

ou 0 ~ (P a— (— P I — P — I — 4 j etc.) — (P ,-f-P 3 — | — P 5— f- . . . .)

Ainsi la somme des termes de rang impair est égale à la somme des termes de rang pair et ces deux sommes réunies

font 2m. Chacune d’elles est donc ^ 2"* ou 2m— '.

* PROPOSITION XXXII. — PROBLÈME

Reconnaître quelle est la plus grande des quantités P, , P, , P3 , etc.

A cet effet, considérons la relation P„= P„ ,

P„ sera ou P„, selon que m — n+1 sera ])> ou <Cji ,

c’est-à-dire selon que n sera ou

Si m est pair, soitm=2i; donnons à nies valeurs 1, 2, 3..., i;

chacune de ces valeurs de n sera ’ donc chacune des

quantités P, , P, , .... P; sera )> la précédente. Au contraire , si l’on fait nzz * — | — 1 , * — 1 — 2 ...... qui sont tous plus grands que

r~^—, chacune des quantités P; , Pi+, sera la précé-

dente, puisque, pour n=i+l, on a Pn-.inPi, Pn=Pi+., et P„ < P„,. Donc Pi est la plus grande, et c’est celle du milieu dans (x-+-a)”*.

Si m est impair et égal à 2/— f— 1 , on fera nzz 1 , 2 , .... i, . ^ m-|-l

qui seront tous < — i+l , de sorte que P, < Pa < , etc.

<C Pi i en faisant n = i-f- 2, i+3, etc., qui sont tous ,

on aura Pn,)>Pn, ou Pi-t-,)> P;-t-,> Pi-h , etc. Donc la diminution commence à P.;-*., D’ailleurs n = H-l donne P;+, = P{ ; donc, etc. 4.

ALGEBRE.

PROPOSITION XYXI1I PROBLEME.

Faire le développement de (a . . +«l)m.

Soit posé «,-+-«3+.... H-ak ==3?, ; le polynôme a1+....H-al devient (a?,-f-a,) et le terme général de (a?,— (— «,)■” est

On n’oubliera pas que ce terme donne tout le développement, pourvu que l’on suppose l"!1 = 1 (p. 28, r.).

Si l’on pose aj+...+flk=3P!, on

et (xJ-Jra1)m~"‘ dont le terme général est

. a n2 . Xm~ “i- "»■

jnil‘ , J0* — ni — “sJ" 2

Donc X, renferme un terme exprimé par

t d n\d n* x m— Di — nj

j»,l‘ . ni- “,!■ ’ 1 2 ■ 2

Continuant ces transformations, on reconnaîtra que le terme général du développement cherché est

jH|l

* . fl,n> . a n* .... a' "i.

ju.i,.|n»i' jnii' * 2 k

avec la condition n -)~n -+-. ..-{-n^ — m.

Ce terme donnera tous ceux de la puissance m de

à cet effet, il suffit de mettre pour n, , n2 . . . . nk tous les nombres entiers positifs qui remplissent la condition qu’on yient d’indiquer. Par exemple, si l’on fait nl=m, n2~n;i=....—

nk =0, on aura a!™, vu que 1°" = 1.

Pour se guider dans le calcul de ces termes, on remarquera'

yj~mi i

que leur nombre, déterminé p. 27, est —