LIVRE IV

Exemple 1. L’équalion x3— 7x+9 =0 ne donne qu’un changement de signe de — 3 à — 4.

Pour former l’équalion aux différences, on prend

/'*+ £/"*+ = 3*’— 7+3^-hr’ = 0.

Entre cette équation et la proposée on élimine x , et l’on a yG 42y*H-l 967*4-8 1 5 = 0.

D’où l’équation aux carrés des différences z3— 42z’+196z-f-815 = 0.

Pour avoir â, on pose (p. 29) z = il vient

8 1 Sw’-q-l 96i>’ — 42y-f-l = 0.

On peut prendre y < — ou<-; d’où z>4 et d>2.

Donc la proposée n’a qu’une racine réelle entre 3 et —4-

les deux autres racines sont imaginaires , ce qu’on aurait pu reconnaître à l’inspection de l’équation en s, qui a une permanence.

Exemple 2. 27a;3 — 9a?-f-l == 0.

Il y a un changement de signe unique de x — 0 à x~ 1.

L’équation aux carrés des différences est

Posant ona

v3 — 9t>,+l 8v — 9 = 0 ; d’où y<9,z>ietd=l.

On rendra donc les racines de la proposée trois fois plus

grandes en faisant x — —, d’où

AI.filîTÎHE.

Cette équation a ses racines toutes réelles, ce qy’on voit aussi par l’équation en z qui n’a que des variations. Ces racines sont, l’une entre — 2 et — 1, la seconde entre 0 et 1, la troisième entre 1 et 2. On peut donc les calculer avec tel degré d’approximation qu’on veut; lorsqu’elles seront trouvées.; on les divisera par 3 , et l’on aura les valeurs approchées de x.

L’équation aux carrés des différences de x3-{-px-{-q — 0, est

33+6pz’+9p’2-f-27g’H-4p3 = 0.

Remarque 4. La méthode qui a servi à trouver l’équation aux différences fait aussi trouver l’équation aux sommes. Conservant les mêmes notations, les racines de l’équation cherchée sont

y = a,-|-«, , «,+«3 • • • a.-HC

etc.

Or on reconnaîtra que les m — 1 premières valeurs de y seront données par l’équation f(y — «,) = 0, qui donne en outre la racine y — 2a,. Car puisque

fx — (x—a,) (x—a,) . . . (x—am) , on a /(y— a,) = (y— 2a.) (y— a,— a,) ...(y— a, — am).

De même y — a,) = 0 a pour racines

y = 2a, , a2-\~a, . . . aa+am ,

« etc.

De sorte que si l’on considère le système

les solutions communes à ces deux équations sont

x — a,, y— la,, «,+a, , . . . a,+a„, xzxa,,y — a,-\-a,, 2a, , ... a,-t-am,

s? = am,y = ani+a,,... 2a„.

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litob iv. 49^

Si donc entre les équations ( i ) on élimine x , l’équation finale en y contiendra deux fois chacune des sommes

«i-f-Uj J » flin-i+Sm ,

et de plus les racines étrangères

2rt., 2<i, 2«m.

Nommons Fy=0 cette équation finale, (py~ 0 l’équation cherchée. On aura

Fj= 0-2a.) ... (y—2a,„) (cpy)\

■ Or (y— 2a, ) ... (y— 2am) =