r-».) , • • (jr—-) = 2-/ r

à cause de la valeur tfe fx.

Donc F/ = 2 m.f\ y. (cp y)' ;

On peut simplifier ce calcul. En effet, au lieu des équations (J) on peut prendre les équations

(O fa — 0 , f(y—x) —fx = 0 ,

qui ont les mêmes solutions que (t). Or la seconde de ces équations devient identique si l’on y remplace y par 2x : donc son premier membre est divisible par y — 2x, et on peut poser

f(r—x)—fx = (r— 2ar) y (r> *)•

ifj désignant une fonction entière.

Ainsi les équations (i') peuvent être remplacées par les deux systèmes

fx = 0,y— 2x = 0 |/x = 0, tp(y, x) — Q.

Mais pour les valeurs de x tirées defxxzv, l’équation y — 2 ,r — 0

'^csr

ALGEBRE*

donne les valeurs y — 2a, , 2a,, ... 2am; donc y (y, ar) = 0 donne les valeurs a.-f-a,, . . a,-+-am ,

etc.

Par conséquent l’élimination de x entre /a: = 0, y (y, :r) = 0 donne une équation en y qui a pour racines les sommes , mais prises chacune deux fois; cette équation est donc (<py)' — 0.

Pour trouver en général l’équation qui a pour racines les expressions F(a,, a,), etc., F(am, , am) , on élimine d’abord x' entre

fx' — 0 , F(x, x1) =y,

ce qui donne une équation F, (a:, y) = 0; entre cette équation et fx = 0, on élimine x, et l’on a une équation F,j = 0 qui a pour racines les m’ valeurs que prend F(r, x1) pour

x — a, , . . , a„ , avec x — a , , . ■ ,

proposition lviii. — théorème (Abaissement).

Soient x, , x, . . . x„ plusieurs racines d’une équation fx = 0 , de degré ro ; si l’on connaît une ou plusieurs relations auxquelles ces n racines satisfont, et si dans ces relations x, ne peut pas représenter indifféremment une racine quelconque de fx = 0 ,je dis que cette équation peut être abaissée.

Car soient <p (x, , x, . . . xD) = 0 , yj(x, , x, . . . xD) — 0 , etc. , les relations qui doivent être en nombre moindre que n-J-l ; on a d’ailleurs fx,~0, fx, = 0 , etc. , fxu — 0.

Entre les n équations

fss* — 0 , • . ,fxn — 0 et tp(y t , sc, ... » 0 ,

supposons qu’on ait éliminé les inconnues x,, x3,.., xa, l’équation restante contiendra x, seul; représenlons-la par Far, = O.

Cette équation ne saurait être identique avec fx, = 0, sans quoi x, pourrait représenter l’une quelconque des m racines de

la proposée, vu que l’équation fx — 0 est satisfaite par toutes ces racines.

La même équation Fx, =0 aura avec/r, =0 au moins une racine commune, et au plus m — 1. Car puisque x, est une racine de la proposée, il faut bien qu’elle satisfasse à fx, — 0 , ainsi qu’à (p{x, , x, ... x„) = 0 en même temps que les valeurs convenables de x, ... x„. Donc elle satisfait à Fx, = 0. Ces deux équations Fx, =0; fx, = 0 ne sauraient d’ailleurs avoir plus de m — 1 racines communes, sans quoi elles en auraient m, et x, représenterait encore l’une quclconque-des m racines d efx, = 0. Puisque ces équations ont des racines communes , F et f ont des facteurs communs. On cherchera donc le plus grand commun diviseur de Fx, et fx,; soit f,x, ce plus grand commun diviseur, on aura/r, zz/,x,Xpar un facteur fx,, ou

fx, =fx, x/„x, ,

et les racines de fx, z0 dépendront de la résolution des deux équations plus simples

fx, =0, fx, = 0, ou fx =0,/,x =0.

Exemple, L’équation /(x) = 0 a deux racines x, x' qui satisfont à une relation donnée <p (x, x') = 0.

On a donc cp(x, x') = 0, fx = 0,/r1 = 0.

Entre la première et la troisième de ces équations on élimine x', ce qui donne une équation Fx=:0, qui doit avoir avec fx = 0 , au moins une racine commune. On cherchera donc le plus grand commun diviseur de F et/. Soit/,x ce plus grand commun diviseur. Deux cas sont à distinguer.

1° (p (x, x') n’est pas symétrique par rapport à x et x*. Dans ce cas le degré de fx est égal au nombre des couples de racines de la proposée, qui satisfont à (p(x, x’) = 0. Car dans ce cas l’équation <p(x, x') =0 change, si l’on y change x en x' et réciproquement ; ainsi fx — 0 ne doit donner que les valeurs de x et non celles de x1.

2° (p(x , x’) est symétrique par rapport à x et x1. Dans ce cas

4g8 ALGEBRE.

toute équation qui donne x donnera aussi x'. Donc le degré de f,x sera égal au nombre des racines qui satisfont à (p(x, x')~0- 1° L’équation x3 — 18.r’-)-87^— 1 10 0 a deux racines dont

la différence est 3.

. On a x1 — x—i avecfx — 0 , fx' zz 0.

Éliminant x*, oaaura

fx — 0, f(3-\-x) = 0.

Celte dernière devient

fx-t-3fx+-.rx+-f"'x=0 ou, vu que fx—Q,

f*+lf'x+lf"x = 0

ou xr — 9 jr — 1 — 1 4 = 0;

cette équation devant avoir une racine commune avec la proposée, on cherche le plus grand commun diviseur entre fx et x 1 — 9x-+-14; ce plus grand commun diviseur est x—2 ; ainsi x~2 est l’une des deux racines, et x' — 3-4-2 = 5, est l’autre. La troisième racine de la proposée est donc 11.

En général, s’il y a deux racines dont la différence est d,

on aura x' — x — d,fx' =0, fx — 0.

Éliminant x', on a f(x-{-d) = 0 qui doit avoir une racine commune avec/r = 0. Mais^ar-j-d) = 0 se réduit à

fT* fTS^ • • • + 2^ = °-

Ainsi il existe un commun diviseur entre le premier membre de celte équation et fx ; si d est nul , il y aura donc un commun diviseur entre fx et f x , ce qui rattache la théorie des racines égales à la proposition générale actuelle.

' 2° L’équation x!> — 12.r3-|-47.r’ — 72jr-f-36 = 0 a ses racines en proportion géométrique.

On va suivre ici une marche différente de celle qui vient d’être tracée.