LIVRE IV

Soient x, y, z, t les quatre racines; on aura

x :y :: z : t; d’où tx = zy. (1)

Mais on a aussi (prop. 24)

(2) ar-j-j-hz-H = 12

(3) xyJrxz-\-lx-\-ty-yiz-yyz =47

(4) x yz-\-xyt-\-xzt-yyzt = 72

(5) xyzt= 36.

L’équation (3) prend, en vertu de (1), la forme

xy-\-xz+%zy+ty->rtz = 47 ou (6) O-H) (j+z)+2zr = 47 ;

l’équation (4), aussi en vertu de (1), devient

xyz-yy'z-yz'y-yyzt = 12 , ou (x+y-[-z+t)yz~ 72;

ou , en ver tu de (2) 1 2 yz = 72,

yz — 6 = tx.

et l’équation (6) devient

Représentant x-j-l par X et y-j-z par Y, on a donc X+Y = 12, XY = 35, de sorte que X et Y dépendent de l’équation

M’ — 12«-f-35 = 0, d’où m = 5 et u = 7.

On peut poser

x~ht = 5 et xt— 6, d’où x = 2, t= 3, y~hz = 7 yz=6, d’où y — 1 , z = 6.

On peut traiter de même l’équation qui aurait ses racines en proportion arithmétique.

3° L’équation fx = 0 a un nombre n-+- 1 de racines qui forment une progression arithmétique, dont la raison est connue et égale à d.

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ALGEBRE.

Soit * le premier terme de la progression; les autrts seront x+d , *4-2 d , . . , *4 -nd , et on aura

fs- 0 ,f(x+d) = 0 ,/(*+2d) = 0 , etc. fix+nd) = 0.

Toutes ces équations auront pour racine commune le premier terme de la progression.

Les deux premières/* = 0 ,f(x+d) = 0 ont n racines communes; car * et *4 -d sont deux racines qui diffèrent de d : or, deux termes consécutifs quelconques de la progression ont cette différence; donc on doit trouver pour*, dans ces deux équations , les n premiers termes de la progression.

De même/* = 0 , /(*4-M)=0, ont n- 1 racines communes , etc. Enfin /* = 0,/(*4-nd) =0 n’ont qu’une racine commune, vu qu’il n’y a que le premier et le dernier terme de la progression qui aient pour différence nd. Donc/* et/(iH-nd) ont un plus grand commun diviseur du premier degré en *, à moins qu .1 n’y ait dans l’équation donnée d’autres comptes de racines dont b différence est nd. Ce plus grand commun diviseur, égalé à Jéro, donnera le premier terme de la progression.

Remarque. La méthode d’abaissement développée jusqu ici ne

réussit pas, lorsque dans les relations ç>(*, , *. — • ) - °.» etc-’ chacune des lettres *, , «...peut être regardee comme désignant indifféremment une racine quelconque de l’équation proposée. A ce cas d’exception se rattachent deux classes d’équations remarquables. .

1* L’équation /* = «, dans laquelle à chaque racine *. «I

répond racine *., telle que la somme *,+*, est constante et

égale à un nombre 2s ; de sorte que *,-+-«. — 2«-

Puisque *, peut désigner une racine quelconque de la proposée, toute équation qui donnerait *., donnerait toutes les

racines de /* = 0.

Pour abaisser le degré de cette équation, il y a plusieurs moyens. Le plus simple est de faire * = y-+s ; car si y, , y , sont les valeurs de y qui répondent à *, et a *, , on aura

X'-y.+s, *.=r,-H, d’où y.+s-j-y.-hsxzs.

et y ,4-y> = °> ou bien y.' = — t- La proposée sera donc transformée en une autre qui aura ses