LIVRE IV

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racines 2 à 2 égales et de signes contraires. Si fx est de degré impair, /(H-/) renfermera donc le facteur y, et si on le supprime, on aura une équation telle que

rn-f-p,7,n-,~f- ... H-p. = o,

qui s’abaissera au degré n. Elle s’abaissera de même si fx est de degré pair.

2° Supposons que les rapines d’une équation Fj = 0 satisfassent deux à deux à la relation y, y, = k. On posera \c\y-xV' k; si x, , a;, sont les valeurs de x qui répondent à y, et y,, on aura

Il s’ensuit que l’équation fx, = 0 doit admettre les mêmes, e — ^:= 0. Car onar.z:-; or fx , = 0 devient

racines que ,

— 0, et le plus grand commun diviseur entre fx, elj'— donnera toutes les valeurs de x, , c’esl-à-dire toutes les valeurs

— 0 ont les mêmes racines.

II s’ensuit que l’équation fx — 0 a les mêmes racines que jf- = 0. Les équations qui jouissent de cette propriété, s’appellent équations réciproques. En voici la théorie.

PROPOSITION UX. — PROBLÈME

Trouver les conditions nécessaires et suffisantes 'pour qu’une équation soit réciproque et abaisser cette équation.

Soit l’équation

,xm— -+- .. -+-cm =0 (1).

Remplaçons .r par chassant les dénominateurs, et mettons la transformée sous la forme

«m— i C,„ — j C, Ci 1

H .Xm—-(-..H .a-m— — x'-\ — h— x-i =0(2).

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algLisiie.

Il faut que celle équation ait les mêmes racines que la proposée, cl comme le premier coefficient de part et d’aulrc est le même , il faut que

Cm — i Cm — j

c i — , • , C\ i , etc*

Cm Cm

Si les conditions que renferme celte dernière ligne sont satisfaites, celles de la précédente le seront. Car en combinant la dernière condition avec les précédentes, on a

C, 1 Ci

X cm , etc* c m — j x — — ■ Xcm , etc* ,

t'ai f'in

c’cst-à-dire

= c, , etc.

= cj, etc,

Ce qui forme les conditions (3).

La dernière des équations (4) donne c’m = 1 ; d’où cm = ±1. Dans le premier cas , cm — 1 , et les autres conditions deviennent

c i — — cm — i , etc* Ci ■ — cm — j , etc,

Ainsi une équation est réciproque, si les termes également distants des extrêmes ont des coefficients égaux et de même signe.

Dans le second cas, em=> — 1 , ensuite

— c, = cm — , , etc. — C; = cm — i , etc.

Donc une équation est encore réciproque , si les termes également distants des extrêmes ont des coefficients égaux et de signes contraires.

Si dans ce dernier cas l’équation est de degré pair, il y a un

terme au milieu, c’est le terme c„ x' qui donne la condition

c,„ = — c,„ d’où cm — 0 , de sorte que l’équation doit être privée

du terme du milieu.

Nous avons par conséquent les quatre espèces d’équations réciproques.

i.ivke iv.

(a) x"+'-h ... H-Cj-f, ... ... H-l = 0.

(A) +ci+,o:,“-,+ ... — Cj+Ixi+, — ... — 1 =0.

(d) x%n- -|-...+Ci a;’0-i+ ... 4-C; *' —...—1=0.

Les équations (a) et ( b ) s’abaissent d’abord à un degré inférieur d’une unité; l’équation (c) à un degré inférieur de 2 unités, et toutes les trois se ramènent ainsi à l’équation ( d) qui s’abaisse à un degré sousdouble. C’est ce qu’on va prouver.

L’équation («) a toujours un nombre impair de racines égales à — 1. Car si l’équation (2) est

fx — (x — a,) (# — a,) ... (x — «„,) =0,

en changeant x en - , et transformant, on a

Or, si a, est différent de ±1 , — l’est aussi; mais ces deux équa-

lions sont identiques; donc — est aussi racine dc/.r = 0. De plus

si a, est k fois racine de/à: = 0, i le sera k fois dans y/x — O;

donc — sera aussi k fois racine Aefx — Q. Ainsi pour chaque racine a,, différente de l’unité, l’équation (a) admet une racine — ; ces racines différentes de l’unité y sont donc en nombre pair

et leur produit est +1; car a,x — = +l ; comme le dernier

terme de cette équation est +1 , le produit de toutes ses racines est — 1. Par conséquent ses racines égales à l’imité, sont en nombre impair et leur produit est — 1. Il s’ensuit que les racines égales à — 1 sont en nombre impair, et les racines égales à -+-1 en nombre pair ou nul.

L’équation («) a donc au moins une racine égale à — I, ce

Al.cliBRF.

qu’on peut vérifier par la substitution. Si on divise le premier membre par jr-+-l , le quotient sera un produit de facteurs tels que

(as — «.) (^x — ... (x — l)lk (x-f-1)11 0.

Or cette équation ne change pas si l’on remplace x par

ses racines sont en nombre pair; c’est donc une équation réciproque de l’espèce de (d) , puisque son dernier terme est-|- 1.

On prouvera de même que l’équation (b) a un nombre impair de racines égales à -|-1 , et que si l’on y supprime la racine -+-1 , on a une équation de l’espèce de ( d ) ; et enfin , que l’équation (c) a un nombre impair de racines -Ht et un nombre impair de racines — 1 ; si l’on y supprime la racine -f-1 et la racine — 1 » on retombe encore sur une équation telle que ( d ).

Pour prouver enfin que cette équation ( d ) peut s’abaisser à un degré sousdouble, on remarquera que dans cette équation

à chaque racine a, distincte de ±1 , il en réponde une -î-, telle

que le produit est a.x — est 1 ; de même à chaque racine ±1 , il

en réponde une seconde ±1 , et le produit de ces racines correspondantes est encore 1 : car les racines -+-1 y sont en nombre pair, et les racines — 1 aussi. Du reste, tant que les coefficients seront des lettres différentes, cette équation ( d ) ne sera satisfaite ni par -+-1 ni par — 1.

L’équation (d) a donc n couples de racines, formant dans chaque couple un produit égal à 1 : pour connaître ces racines , il suffira de chercher la somme de celles qui font partie du même couple. Cette somme devra avoir n valeurs différentes et pas plus. À cet effet, soient .r et x' les deux racines d’un même couple, de sorte que xx' = 1. On posera x-\-xf z , et l’équation en z n’aura que n racines distinctes.

Ces deux équations donnent z = x-| — , et au lieu d’éliminer

x entre cette équation et (d) , on pourra opérer ainsi qu’il suit :