LIVRE IV

on divisera (d) par x " , ce qui donne

(e)x*-j ( xn~' '+ — — ;'S\+..+en lx-\ — ^-(-c»=0.

x° ■ \ x—'y \ XJ

Or , je dis que le binôme x *+ — est une fonction entière de z du degré a; car on a

(*+1)=*^^+**-'+^, d’où

Si donc on suppose que x**-)- — et x*~M — sont des

fonctions entières de z des degrés a, a — 1 , respectivement, il

suit de cette relation que x*+'-

, est aussi une fonction entière de z, du degré a-f-1. Or x0-|---^ ou 2, est du degré 0 en z; x'-|--^ou z est du degré 1 ; donc x’+ sera du degré 2 ,

x3H - sera du degré 3 , etc.

xJ

Donc, donnant dans l’équation (/), à a successivement les valeurs 1, 2, 3, etc., on aura

xG| — -, = z* — 4z’+2,

etc.

xn— f-* — = z” — nzn-,+ etc. , x°

et l’équation (e) sera transformée en une équation en z du degré n.

5oG

ALGEBRE.

Connaissant les valeurs de z, au nombre de n, l’équation

x-\- — — z , ou a?’ — xz-\- 1 = 0 ,

fournira deux valeurs de x pour chaque valeur de z.

Exemple. x^-f-c , x 5-j-c M-c 3ar3-(-c aar ’-j-e , .r + 1 = 0 , divisant par x3, on a

( *,+ ?)+Ci (*+ ï)-^3 = 0 ’

mettant pour x-\ — , etc., leurs expressions en z , on a

s3-+-c,z'-\-z(c? — 3)-t-cj — 2c, = 0.

Soit c, — 2 , c, — — ^ , C3 — ^ »

z3-îz'-jz^=0,

on aura

ou 4s3 — 8z’ — 25z-|- 50 = 0.

Cette équation a pour racines z = 2,z = -j--,z = — -.

jS &

Ainsi pour trouver a:, on a les trois équations 5 5

•r’ — 2a?+l — 0 , x 1 — - x~\~\ z=. 0 , ar’+ - ar+1 = 0 ,

d’où # = 1 , x— 1 , x = 2, x— -, xz=. — 2,x= — -.

Aà £

On peut encore former l’équation en z d’une autre manière : celte équation est de la forme z0-j-A,z"—,H- ... -f-A„ = U.

Si l’on y remplace z par x-\- - , on doit retrouver l’équation en x.

Ainsi dans ^r-f- ^ -f-A, x-\ - + ... H-A„ = 0, on mul-

tipliera par x", et on rendra l’équation résultante identique avec la proposée , ce qui déterminera A, , etc., Au.