LIVRE IV
Remarque t. Au lieu de chercher l’équation qui a pour racines x-\-x', on pourrait chercher celle qui a pour racines x'-i-x'*, elc.,x—x'; cette dernière aurait scs racines 2 à 2 égales et de signes contraires.
Remarque 2. Dans les cas particuliers on peut trouver l’équa-. tion en z en éliminant x par la méthode du plus grand commun diviseur.
Corollaire. Les équations binômes 2m±a = 0, a étant un nombre absolu se ramènent aux équations réciproques. Soit b la
valeur absolue de V' a, de sorte que bm = a, et soit fait z — bx; l’équation devient
h™x"‘-±b<" = 0 ou xm ± 1 = 0 , équation réciproque.
Si m est impair et égal à 2n-|-l, l’équation = 0 se
décompose, admet la racine — 1 , et conduit à une équation réciproque de l’espèce de (d) ; elle s’abaissera au degré n.
L’équation x'*+' — 1 =0 tombe dans le cas de l’équation (b).
Soit maintenant m pair et égal à 2 n.
L’équation =0 tombe dans le cas de l’équation (d) et
s’abaisse au degré n.
L’équation j‘“ — 1 =0 se décompose en
Si n est impair, ces deux équations rentrent encore dans les équations (a) et (b) et s’abaissent au degré — - \ Si n est pair ,
la première est dans le cas de l’équation (d) , la seconde décompose en
x'—l = 0, x’-p-l =0, etc.
L’équation binôme n’a point de racines égales, parce que #m th 1 est premier avec sa dérivée mxm~~‘ (p. 40).
L’équation .r‘"±l rrO ne saurait admettre des racines réelles autres que -(-1 ou — 1. Car on doit avoir xm =+ 1. Donc l’équation binôme n’a jamais plus de deux racines réelles.
L’équation x'n— 1 =0 en a deux qui sont -)-l et — 1 ; l’équa-
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lion x’D+' — 1 = 0 a la seule racine réelle -f- 1 ; l’équation =0 n’a que la racine réelle —1 , et ar’*+l — 0 n’en
a pas.
Exemples. x6 — 1 = 0 , se décompose en
' i±vm ,
La première donne x= 1 , x — ; la seconde
L’équation x'* — 1 = 0 se décompose en x * — 1 = 0 , xM-1 = 0 , on en tire
x® — 1 =0 se décompose en xi — 1 = 0 , xH-1 =0; l’équation
x'1 — 1 =0 vient d’être résolue; l’équation x*+l=0, donne
x'-\ — - = 0; posant x-j — —t, on a OC oc
t * — 2 = 0, d’où l ±=.±V/' 2 , ensuite x’ — tx+ 1 =0 donne
ou
x'1 — 1=0 se décompose en (x3 — 1) (x6+x3-|-t) = 0, d’où x3 — 1=0, x6+x3+l = 0 .
La première a été résolue; la seconde donne
Pour déterminer x , on sait qu’il est de la forme — 1.
On pose donc
Élevant au cube,
