LIVRE IV. 5of

égalant les parties réelles d’un côté, les parties imaginaires de l’autre, on a les équations

dont on cherchera les solutions.

Une seule solution suffira , comme on le montrera plus bas (prop. 60, c. 2).

L’équation x5 — 1 mO a la racine +1 ; les quatre autres racines sont fournies par

Divisant par x1, on a

ar’ x

posant x-\ = t , on a

par suite t = — ' — - — , d’où les valeurs de x.

L’équation trinôme r”— 2pr”-f-?=o

se ramène aux équations binômes ; car elle donne

Comme l’équation binôme ne saurait avoir plus de deux racines réelles , l’équation trinôme n’en a pas plus de quatre.

PROPOSITION LX. — THÉORÈME

Un radical a autant de déterminations différentes qu'il y a d’unités dans son indice; parmi ces déterminations il y en a tout au plus deux qui soient réelles.

Soita une expression quelconque, algébrique ou arithmétique; soit x la racine m de a; pour que x soit en effet une racine m

■ 5io

ALGEBRE.

de a, il faut et il suffît que la puissance m de x soit égale à a ,

c’est-à-dire que xm—a, ou — a=0,

équation qui a m racines dont 2 au plus sont réelles. Donc x ,

ou \S a a m déterminations dont 2 au plus sont réelles, et qui d’ailleurs sont toutes différentes.

ni

Remarque 1. V' \ a également m déterminations fournies par l’équation xm — 1 = 0.

Corollaire 1. Lorsque les puissances m de deux expressions sont égales, on peut conclure que ces deux expressions sont des déterminations de la racine m d’une même quantité. Si ces expressions sont des nombres absolus , on peut conclure qu’elles sont égales. Car la racine m d’une quantité n’a pas plus de deux déterminations réelles, dont une seule est un nombre absolu.

ni

Corollaire 2. Pour trouver toutes les déterminations de V' a , il suffit d’en connaître une et de la multiplier par les détermina-

lions de En effet soient a,, a, ,...., ces dernières, de sorte que

«,m =«/"=,..., = a, um=l;

ni

soit a! une détermination de V'a, de sorte que a'm—a; je dis que les racines m de a sont

a, a', a,a',..., ama';

car ces expressions sont au nombre de m, toutes différentes et chacune d’elles, élevée à la puissance m donne a, puisque

(a,«’)ra=aIma'm=lXa=a, etc.

Par conséquent s’il s’agit d’avoir toutes les déterminations de la racine m d’un nombre ou d’un polynôme, on en cherchera une d’après les méthodes du livre 1er, et on la multipliera par

les valeurs de P'T, supposées connues.

Remarque 2. Le produit de plusieurs puissances entières, positives ou négatives des racines m de l’unité, est une détermina-

tion de 1^1 .