LIVRE IV

Car soient n,i,k, . . . , des nombres absolus , et soit a" a,'.a3~k...;

a , , a,,---, représentent encore les valeurs de \S t ; si l’on élève celte expression à la puissance m, on a

a,mn «,mi a~ak...^

ou (a, ")■.(«,")* (a3m)-k....

Or a1m = «Jra=«.1ra=etc.= 1; donc l’expression précédente se réduit à 1 ; ainsi la puissance m de a,n a,1 a3~ 1 , ..., est 1 ; donc

cette expression est une valeur de Remarque 3. Calcul des radicaux.

Les règles de ce calcul n’ont été établies (I. 1) que pour les valeurs numériques des radicaux ; il convient de les étendre à ’ tous les cas , même à celui où les radicaux n’ont pas de valeurs numériques.

1° Addition. Læ règle établie (p. 43, 1. 1) ne donne pas toutes les valeurs de la somme. Car soit a V' c-\-b V'c; puisque a m

valeurs, le premier terme n^cam valeurs ainsi que le second

6 l/c; en combinant chaque valeur du second avec chaque valeur du premier, on obtiendra m’ valeurs, pour la somme.

Or la règle citée donne (ns— {-6) l/c et ne fournit pour celte somme que m valeurs : elle ne les donne donc pas toutes. Pour

avoir toutes les valeurs, appelons e' une valeur de ^ c ; il faudra ajouter chacune des m expressions

aafi, aa,c' aamc’ , à chacune des suivantes ba,c' , 6a,c', ..,

bamc' ; a,, a, etc. , étant toujours les valeurs del/ 1 .

2° Simplification. Cette règle convient à tous les cas, c’est-àdire que l’on a toujours

l/ an'b—a l/ b.

ALCliBRE.

Car Ÿ amb représente les m déterminations de la racine m de

ni

amb; or aV' b représente aussi m expressions différentes, dont chacune, élevée à la puissance m, reproduit a.mb; donc toutes ces expressions sont des racines m de amb, c’est-à-dire qu’elles sont

égales aux valeurs de V' amb.

3° Réduction de l’indice. Cette opération change le nombre des valeurs du radical , puisque ce nombre est égal à l’indice.

4° Puissances. Si m et h sont premiers entre eux, on a toujours

En effet soit a! une valeur de a; toutes les valeurs de ce radical sont

, ûifl1 CLxaP i

Donc toutes les valeurs de

(fc)‘

sont

(1) a,‘a'‘ , a 'a" am'cc\

Chacune de ces valeurs est une valeur de ; car si l’on en considère une quelconque a,ka,k, pour l’élever à la puissance m, on a

= (ce,")1 (a'")k = ak

vu que a,m=l, a'm = a. Donc toutes ces expressions (1) sont

des racines m de a1, ou des valeurs de V^a1; elles sont au nombre de m; il suffit donc de prouver qu’elles sont différentes , et

il sera démontré que ce sont les m valeurs de

Or ces valeurs ont le facteur a,k commun; il faut donc montrer que les facteurs a,k, a,k , . ., amk sont différents.

Supposons qu’on puisse avoir cc,k= «,k.

Soit k=.mq~\-r; il vient

^mq+r—^mq-fr

ou («,"’),,x«,r=(a,,a)‘,xa,r, ou a.r=a,r,