LIVRE IV

5 iô

VU que a,m= 1 =a,m.

Soit maintenant m — rq,-\-r, ; on aura aussi a,"i.+r. = a1"«i+,i.

Mais a,' = a,' donne -a."1. = a/s. ; donc on aurait a,r. = a,r..

Continuant sur r, r, ... l’opération du plus grand commun diviseur , et nommant r, un reste quelconque , on prouvera que

cc,r> = a,T>;

mais puisque m et k sont premiers entre eux, on arrivera à un reste r — 1 , donc on aurail a,=a,, ce qui n’est pas.

Donc, etc.

En second lieu je dis que

/mn \ n r»

mn

Car soit une valeur quelconque del ^ a, on aura yma~a ou

/ mn \ n

(y”)’" — a; donc y" ou \v a) , élevé à la puissance m donne a;

donc y" a m valeurs qui ne sont autres que celles de V' a. Car

toute racine m de a est une valeur de y°, vu que (*)‘ donne ( y°)m .

/ta n \ nk m

. Enfin je dis que \r a) = l/âs m et k étant premiers entre eux.

/ma \ ni / /mn \n\^

Car * \y~a) =\\/~ci) )

Mais on vient de prouver que

/mn \ n m

5 1 4 ALGÈBRE

on a prouve de plus que, m et k élant premiers entre eux

(t/àï=ÿ^.

Donc

6° Extraction des racines,

iyh) = (y a) =^.

■ / m mn __

On a' V

Pour prouver cette égalité, il suffit de montrer que a mn valeurs différentes; car toute valeur de cette expression est telle, que si on l’élève à la puissance mn, elle reproduit a; vil que, d’après 4°

de sorte que est une racine mn de a. Si donc on prouve

que |/ V^â a mn valeurs, l’égalité ci-dessus sera démontrée.

Or, soient a,, a,, .. , am les valeurs del^a, celles de seront données par les équations

y" — a, = 0 , y" — a,=:0 . .. j"— am = Ô.

Or y° —a, , y*— a, , etc. , sont premiers 2 à 2 ; donc y a mn valeurs différentes.

6° La règle de la multiplication est exacte, pourvu qu’on réduise les radicaux à l’indice oommun le plus simple. U y a trois cas.

mm ni

1er cas . \/~a 'xÿ'ïf — I /ÔÂ.