VR K IV
En effet V ay.V b , élevé à la puissance m donne ab; donc il est une valeur de racine rndea^; et par suite il n’a pas plus de m valeurs, il en a d’ailleurs m; car le produit des m valeurs de
V a par une valeur de Vb fournit m résultats distincts.
2e cas. Soient m, n deux nombres premiers entre eux, on
m d ma
aura Va . V b — V a*bm.
En effet Va . V b élevé à la puissance mn donne a* b™ ; donc
nui
ses valeurs sont des déterminations de V a"bm. Reste à prouver
que les valeurs de Va Vb sont au nombre de mn.
Or, soit ci une valeur de Va; a, , a,,..., ccm celles de Vt ;
soit b' une valeur de Vb ; (. î , , celles de V\. Les valeurs
de Va X Vb seront a! b •Vi.Vî , c’est-à-dire ci b' a, fi ., a'b'a1fî2,.l.,a!b'a1ftB, a'b'dift, , db'a,(i,,...,cib'a7(iB, etc.
Parmi ces valeurs, celles qui ont trois facteurs communs sont évidemment différentes; reste à montrer que deux expressions, telles que a’b'a,ft, , a'b'a,(i, , sont différentes, c’est-à-dire que a,(i, , a.ft, le sont.
Mais si l’on avait a,f}, = a, fi, , on aurait aussi (a, fi,)" = (a,/?>)n >
ou a,°/9.° = d’où , vu que /?." = 1 = /9,n
Mais on a aussi a,™= 1 = a„,n.
Et puisque m et n sont premiers entre eux, ces deux relations sont contradictoires , comme on l’a prouvé ci-dessus (4°).
3e cas. Les indices ont un facteur commun. Soient m et n
5 1 G ALCkBRE.
deux membres premiers entre eux , je dis que
mli t k mi k
V ayVb — V a"bm.
donc le produit des deux radicaux d’indice k est , d’après le premier cas
V VayVl>.
Mais V ay.v b—V ' a"bm, puisque m et n sont premiers entre eux (2e cas).
Donc le produit est
7° Division. Comme pour la multiplication.
PROPOSITION LXI. — PROBLÈME
Rendre rationnelle une équation à une inconnue, et qui renferme des radicaux.
Si l’équation ne renferme qu’un seul radical, tel que V' X , X étant une fonction rationnelle de x , on pourra la mettre sous la forme
À et B étant des fonctions rationnelles de x. De là
[uestion est donc de trouver pour x une valeur qui rende
al à l’une quelconque des n valeurs de , ou qui rende
