I.1VBE IV
Cette équation est rationnelle; elle donne toutes les valeurs
de x qui rendent B égal à AV^X.
Il faut .remarquer ici qu’à chaque valeur de x répondent «
valeurs de k X; or ^ deviendra égal à l’une de ces valeurs , et il
faudra chercher quelle est cette même valeur.
Soit pour exemple l’équation
élevant au cube, on a
686^’ = 8x}-f-72x’+2 1 6jc-+-2 1 6 ; ou 4x3-\-3Gx'‘ — 235^+108 = (b
Celte équation donne x — 4 et 4x*-\-t>2x — 27 = 0 ;
d’où
Chacune de ces valeurs satisfait à la proposée, pourvu que
l’on prenne la valeur réelle de V' 2x. Au contraire , nommant «
une valeur imaginaire de V 1 , si l’on pose
’laV'^x — 2x-f-6 ,
on trouvera les mêmes valeurs de x; mais aucune d’elles ne
satisfera à l’équation, si l’on prend la valeur réelle de V' 2x; il
faudra prendre une valeur imaginaire de V' 2x.
Dans l’équation SV' X = B , il peut se faire que l’on trouve des valeurs de x, dont les unes satisferont pour une certaine deter-
initiation de V' X , d’autres pour une autre. C’est ce qui a lieu pour l’équation
AI.ckBRE.
Elevant au carré , on a
x’ — 6x-f-9 = 2x — 3 , puis x’ — 8x-+-l 2 = 0;
d’oùx=2, x=6. Or de ces deux valeurs , la seconde satisfait seule
à l’équation proposée; la première satisfait à x — 3 = — V' 2x — 3.
Ce résultat est d’accord avec la remarque faite au commencement de ce problème.
Si l’on prend l’équation x — 4 = -4-l/3x+10, •
d’oii x’ — 6x-)-6 = 0 et x = 2,x = 3,
on reconnaît qu’aucune de ces valeurs ne satisfait à la proposée, et que toutes les deux satisfont à x — 4 = — V — 3x-)-1 0.
Considérons maintenant une équation avec deux radicaux , telle que
(1) A^X+B^Y+CrzO,
A, B, C, X, Y étant des fonctions rationnelles de x.
Pour chaque valeur de x, l’expression AP^X-f-BP^Ÿ aura mn valeurs; ainsi il faudra encore ici discuter les déterminations qu’on doit prendre pour chacun des deux radicaux, lorsqu’on donnera à x une valeur.
Pour obtenir ces valeurs de x, on posera V' X —y, P^Y — z, d’où Aj-t-Bz-j-C = 0 , y* — X = 0 , zm — Y = 0.
On éliminera y et z entre ces équations, et on aura l’équation en x.
Exemple. V' x — 2-f-P/ x — 1— |— 1 = 0.
On pose V1 x — 2 —y,\/x — 1 = z,
et l’on a j-t-z+l+=0; x— 2=^, x— l = z\
L’élimination de z donne x — 1 ou
r’f 2j — x-f-2 = 0 avec y3 — x-j-2 — 0.
