LIVRE PREMIER

Si m = 2, on a

A-’1' Ar(/r— |— 1)

pour le nombre des termes du

carré du polynôme.

Définition 21. La racine m d’une quantité est une seconde quantité qui, élevée à la puissance m, reproduit la première. Ainsi 3 est la racine deuxième ou carrée de-9, parce que 3, élevé au carré, reproduit 9 ; 4 est la racine troisième ou cubique de 64 , parce que 43 = 64. La racine ni d’une quantité s’indique par m 2 3 m

le signe radical |/; ainsi 1^9 = 3 , 1^64 = 4 , ^ am = a. Dans le

cas de la racine carrée, on écrit seulement j/. ..-Dans j/, m s’appelle l’indice du radical.

PROPOSITION XXXIV. — PROBLÈME

. Extraire la racine carrée d’un nombre entier N , à moins d'une unité près.

Si N ne surpasse pas 100, sa racinecarrée, à une unité près , est l’un des nombres 1.2.3 .... 10.

Supposons donc N^> 100 ; sa racine sera 10. Soit a le nombre des dizaines (y compris les unités d’ordre supérieur) , b la partie restante de la racine; il s’agit de déterminer a exactement, et b à une unité près. Or, les dizaines a valant 10a unités, la racine est 10n+ô, et son carré 1 00a2-|-20a5-|-ô2 , nombre qui doit être égal à N. Mais la partie 100«2 ne contenant que des centaines ,'sera contenue tout entière dans les centaines du nombre N : soit N,, les centaines, N les dizaines et unités de N, de sorte que N =100 N ,(+N . — Puisque 100a2 est contenu dans 100N, , il s’ensuit que a2 est égal ou inférieur à N^. D’un autre côté, b étant moindre 10, (10a-|-ô)2est plus petit que (t0a-f-10)2 ou que 100(a-|-l)2; donc 100N2-J-N( et à fortiori 100N2,est <^10Û(a-t-l)2. Par suite N2<^(a-|-1)2. Donc a est la racine du plus grand carré contenu dans N , et la question est ramenée à trouver à une unité près la racine carrée de N2, qui a deux chiffres de moins que N. Supposons que l’on connaisse a qui est

algLdiu;.

celle racine de Na; de N on retranchera le carré de 10a, et le reste sera la valeur de 20a5-}-6’; or, si l’on divise ce reste par 20a, double des dizaines trouvées, le quotient, pris exactement, est plus grand que b ; donc ce quotient, pris à une unité près, sera égal qu supérieur à la partie entière de b ; soit fi ce quotient pris à une unité près.- Pour reconnaître s’il n’est pas trop grand , on fera le carré de 10a-)-^. Si ce carré surpasse N , on diminue fi d’une ou de plusieurs unités ,. jusqu’à ce qu’on arrive à un nombre dont le carré ne surpasse pas N. Ce nombre sera la racine cherchée. ,

Or, on sait trouver la racine carrée d’un nombre entier qui n’a pas plus de deux chiffres; donc on saura trouver celle d’un nombre qui n’en a pas plus de 4 , 6 , 8 , etc. , c’est-à-dire d’un nombre entier quelconque.

Remarque 1. On a prouvé que Na est toujours moindre que (a-|-l)’, parce que celte quantité N, contient a’ et en outre les centaines renfermées dans 20a5-f-52, centaines dont le nombre est moindre que 2a-f-l ; et, en effet, b étant 10, 20a5-f-5J est <^200a-f-100 ou que 2a+l centaines; ainsi N, est <V*-|-2a-(-l ou (a+l)a. On ne pourrait commencer par chercher les unités : car soit fi le chiffre des unités, la première tranche à droite proviendra , il est vrai, d’une addition dans laquelle entrera fi* et même 6’ ; mais à b% s’ajouteront les unités et dizaines qui proviennent de 20a5, quantité toujours plus grande que 2^-f-l , si b n’est pas nul , vu que b est au moins égal à fi, et que 20a surpasse 2 ; ainsi les nombres qui , par leur addition , servent à former la première tranche à droite, valent plus que /?’-f-2/3-|-l ou que Qî— f— 1 )*. D’après cela , de deux choses l’une : 1° ou bien 20a5-f-6’ ne donne point de centaines et reste renfermé dans cette tranche, qui alors est ^>(/9+l)’ et donnerait au moins pour racine ^9— 1—1 , qui est trop grand, comme cela a lieu dans 196, carré de 14, où la racine delà première tranche serait 9, tandis que le chiffre des unités est 4; 2“ ou bien 20 ab-\-b* donne des centaines qui s’ajouteront à 100a’, et la première tranche sera si le nombre proposé est un carré parfait, on a b — fi-, ainsi toutes les fois que dans ce cas la somme des chiffres des