LIVRE IV

Enlrc ces deux équations on élimine y.

y3 — aH-2 y’+2r — a?-)-2

j(jc+2) — 3a?+6.

On multiplie le nouveau dividende par a?-|-2, y7(x-{-2)-hy(2x-\-i) — ar’-f-4 y(a?-f-2) — 3a?-f-6 -+-y(6a? — 2) — x’-4-4 y, 6a? — 2

On multiplie par a?-f- 2

y(5a? — 2) (a?-+-2) — x3 — 2a?’-4-4ar-4-8

Ainsi l’équation en a? est

x3 — 13x’+32a? — 20 -f - 0 , ses racines sont x — \, xxz 2, a?=10.

La valeur x— 1 satisfait à la proposée, arithmétiquement.

La racine x = 2 y satisfait si l’on prend x — 1 négatif, et

x— 10 de même.

S’il y a plus de deux radicaux, et même s’il n’y en a que deux , on peut être conduit à des calculs d’élimination compliqués.

* PROPOSITION IXH. — PROBLÈME.

Faire disparaître un terme dans une équation donnée fx = xmH-p,xm-,-f- . . . -4-pm = 0.

A cet effet on pose x — a-\-x' , a étant une indéterminée , x' une nouvelle inconnue. On a fÇa-hx1) =

ar(<=-i) /•(>»-»)

S’il s’agit de faire disparaitre le terme en a?’", on déterminera a par le moyen de l’équation

J a =m"l“'.a“— +(m— l).nl-'/?,am-n-,-4-...4-n“l-,./>1„a = 0.

ALGÈBRE

Dans le cas où les coefficients defx sont réels, si m — n est impair, cette équation a au moins une racine réelle, et si m — n est pair et pm—u<^ 0, elle en a au moins deux.

/(«■— o a = 0 , d’où

a — — — comme à prop. 24, c. 2.

Pour faire évanouir le dernier terme, il faut résoudre^ = 0, oufx— 0; ce que l’on peut voir d’une autre manière. Car soient a,,..,a” lesm racines de fx — 0 , puisque x — x'~\-a , ou x' =zx — a , les m racines de l’équation en x' sont

a, — a, a, — cc,...,am — a. x

Or, pour que l’équation en x1 soit privée du dernier terme, il faut et il suffit que l’une de ses racines soit nulle. Il y a donc m manières de faire disparaitre ce terme; en faisant a — a,, ou a — a%, etc., ou a — am. Ainsi les valeurs de a sont les racines defx — Q.

Remarque. Si l’on veut faire disparaître à la fois deux termes, par exemple x'" et x'a+', on aura deux équations, telles que

m"1— a"—- 4- K1“,Pn,-« = 0,

m»+il- > — 0.

Mais la première de ces équations a à ses derniers termes les coefficients pm—n, • • • Pm— h-, ^ qui n’enlreut pas dans

la seconde. Donc en général ces deux équations n’ont pas de racine commune : on ne pourra donc faire disparaître deux termes que dans quelques cas particuliers.

PROPOSITION LXIII. — PROBLÈME

Exprimer qu’une ou plusieurs racines d’une équation fx ~ 0 satisfont « des conditions données.

1° L’équation fx — 0 doit avoir k racines communes avec l’équation (px =.0.

Il faut pour cela que fx et rpx aient un commun diviseur du degré h. Ainsi on cherchera le plus grand commun diviseur de