LIVRE IV
fx et (px , et l’on poussera les opérations jusqu’au diviseur de degré k y le reste correspondant à ce diviseur, reste qui est de la forme
Ax^'H-A,#1-’-)- • • • +Ak— .
devra être nul, quel que soit x ; ce qui donne les conditions A = 0, A, = 0, ..., Av, = 0.
2° L’équation fx — 0 doit avoir n racines égales.
Soit a la valeur inconnue de la racine multiple ; on posera
fx — (x— a)*. (px.
Si fx est du degré m, (px est du degré m — n et renferme m — n coefficients inconnus; on fera le produit de (x — a)” par (px ; ce produit devra être identique avecfx; on égalera donc les coefficients des mêmes puissances de x, ce qui donnera m équation entre m — n-f-1 inconnues, lesquelles inconnues sont les coefficients de (px et a- Ainsi de m — n-j-t de ces équations on tirera les valeurs de ces inconnues, on les substituera dans les n — 1 équations restantes, et on aura les conditions cherchées, au nombre de n — 1.
3“ L'équation/jr ... -hpm — 0 doit
avoir toutes ses racines égales.
Comme la somme des racines est — p, , si elles sont égales entre
elles, chacune sera — — . Ainsi non-seulement x — — — devra ni m
annuler fx , mais encore toutes ses dérivées jusqu’à fm~~'x inclusivement; or f“'~'x — m(m — 1) ... 2.x+(m — 1) ...2 .p, ,
expression qui est annulée immédiatement par xxz — il res-
tera donc m— 1 conditions qui sont:
Cette question peut se résoudre encore de plusieurs autres manières.
4° Établir les conditions pour que x/,~+-px3~\-qx',-{- rx-f -s = 0, ait ses racines égales 2 à 2.
ai.g1-.bri;.
Il faut pour cela que ce polynôme soit le carré d’un binôme tel que x'-J-ax-^ft.
6° Idem pour que xf’-\-pxs- 4- . . . = 0 ait ses racines égales 2 à 2. '
Ce polynôme doit cire de la forme (;r3-f-e^r,-^-/9.r-|-y)^
6® L’équation xm-\-px'n~'- f- ... =0 doit avoir n couples de racines telles que les racines de chaque couple fassent une somme égale à s.
On cherche l’équation aux sommes et l’on exprime qu’elle a n racines égales à s.
7® Transformer fx = 0 en une autre équation FytnO, telle que Ç)(x , y) == 0.
On élimine x entre tp{x , y) = 0 et/*=0-
PROPOSITION LXIV. — PROBLÈME
Trouver les diviseurs du degré n, d’un polynôme du degré m^> n.
Soit xm-{-pIx”‘-~'-{- ...+pm le polynôme de degré ni; chacun de ses diviseurs de degré n sera de la forme
x"-\-q,x'‘ ' -j— . . . — (-<7„ î le quotient sera du degré m — n et de la forme
-n-t-r,xra-n-,-f- ...
Il faudra donc que le produit de ces deux derniers polynômes soit égal au premier, ce qui fournira m équations entre les ni inconnues q, ... qa, r„, ... rm„.
Comme un polynôme de degré m a m diviseurs du premier degré, il a autant de diviseurs du degré n qu’il y a de produits de la classe n à faire avec m quantités, c’est-à-dire que le nombre /n"^ — 1
des diviseurs est - : tel est donc aussi le degré auquel s’élè-
vera l’équation qui donnera q , ou q, . . . ou qa.
Si n — m — 1 , ce degré est m; dans ce cas il est facile de former l’équation qui donne q,; en effet, soient a,, a, ... am les racines de x™-+-p%xm—'-\~ ... -+-pm — 0.
