livre iv. 5a

Les valeurs de —q, sont les sommes que l’on peut faire avec ces racines combinées m — 1 à m-rl ; or, comme

P l =^l+U»+ •• - ,+Uin ,

il s’ensuit que ces sommes ont pour valeurs

— a, — p,, — a,— p,, etc. —um— patelles sont les valeurs de — q,; ainsi l’équation qui donne les valeurs de q, est

(?, — a, — p,) (<7i — u, — pi) ... (?,— a„— p,) = 0.

En la comparant à

fx — xm-\-p ,xm~' ... = (x — a,) (x — a,) ... (x — am) = 0, on reconnaît que celle-là n’est autre chose que

q, étant l’inconnue. Si dans la proposée p, est nul, cette équation devient fq, = 0 oufx — 0.

Remarque. Si on cherche les diviseurs du second degré en divisant fx par x ’ — tx-\-u , et formant

< p(u , l) = 0 , ip(u , t) — 0 ;

si de plus on élimine u, l’équation en t sera l’équation aux sommes; et si l’on élimine l, l’équation en « sera l’équation aux produits.

PROPOSITION LXV. — PROBLÈME

Composer une équation qui admette des solutions données.

Si dans une équation chaque terme renferme un coefficient indéterminé , on peut se donner arbitrairement autant de solutions, moins une, qu’il y a de coefficients. En effet, on peut toujours multiplier ou diviser une équation par un nombre différent de zéro, sans que ses solutions changent : par conséquent, les solutions d’une équation déterminent, non pas les coefficients eux-mémes , mais bien les rapports de l’un de ces coefficients à tous les autres. Réciproquement ces rapports déterminent les

ALGEBRE.

solutions. Ainsi demander de former une équation au moyen de solutions données, c’est demander de déterminer ces mêmes rapports. On peut donc diviser d’abord l’équation par l’un de ses coefficients, pourvu qu’on soit certain que ce coefficient ne doit pas être nul.

1° S’il s’agit d’une équation à une inconnue,

xm-+-p,xm~ -4-pm = 0oufx = 0,

chaque solution ou racine donnée fournit une relation entre les coefficients de l’équation dont le degré doit être au moins égal au nombre des racines données.

2° Équations à deux inconnues.

Soit d’abord l’équation du premier degré Ay+Bx-|-C = 0. Divisons par A et mettons l’équation sous la forme

y — ax-{-b (1).

Si a et b sont inconnus, on pourra se donner deux solutions arbitraires; en effet, soit x~x y=y, une première solution. Il faudra que l’on ait

. y — ax'-^-b (2).

Voilà une première équation entre les deux inconnues a et b. Soit x — xi' , y=zy, une seconde solution; on devra avoir

y-ax^-hb (3).

On a donc deux équations entre les inconnues a et b, ce qui suffit pour les déterminer.

Par conséquent, des équations (2) , (3) , on tirera les valeurs de a et b; on les substituera dans (1), et on aura l’équation cherchée. Ces opérations reviennent à éliminer a et b des équations (1), (2), (3). A cet effet on peut retrancher (2) de (1) et (3) de (2) ; ce qui donne

et y — y — a(x' — x").

Celle dernière donne a — . ,