LIVRE IV
5sô
el la précédente devient C’est l’équation cherchée.
L équation complète et générale du degré m , c’est-à-dire celle dans laquelle la somme des exposants de x et y a toutes les valeurs entières , égales et inférieures à m, est de la forme
.; iy“-|-r,7m— -H ..
On l’a divisée par le coefficient de xm.
Le second terme contient deux coefficients a, a,; le troisième en contient trois, qui sont b , b, , £a, etc.; le en contient Le nombre total des coefficients est donc
progression arithmétique où le premier terme est 2, la raison 1, le nombre des termes m, et par conséquent la somme
Chaque solution donnée fournira une relation entre ces coef-
ficients; donc on
peut se donner en général
solutions
arbitraires.
Supposons maintenant qu’on donne deux équations à deux inconnues V(x , y) — 0 , f(x, y) — 0 , renfermant des coefficients non déterminés ; supposons de plus que dans chacune il y ait au moins un coefficient déterminé : dès lors on peut se donner pour ces deux équations, généralement parlant , autant de solutions communes qu’il y a de coefficients non déterminés dans celle des deux équations qui en renferme le moins.
Soient, par exemple, les deux équations
x'-\-ay'1-\-bx-\-<: — 0 , y — dx-\-e ;
on pourra se donner deux solutions communes à ces deux équa-
ALGEBRE.
tions. Car ces deux solutions fourniront deux équations entre les coefficients d, e, delà seconde, et deux autres équations entre les coefficients a, b, c, de la première. Ainsi d, e seront déterminés, et parmi les coefficients a, b , c , il y en a un qui restera indéterminé.
Soient les solutions
Ces valeurs substituées dans la première équation donnent l-MH-e = 0 1 —(—et — 5+c = 0.
Dans la seconde (2)
Les équations (1) donnent
Les équations (2) donnent
et }es proposées deviennent
On reconnaîtra aisément qu’elles admettent les deux solutions données.
Dans le cas de deux équations de même degré et de même forme, renfermant aux termes correspondants des coefficients indéterminés , on ne peut pas se donner arbitrairement plus de solutions communes qu’il n’y a de coefficients indéterminés, moins un, dans l’une ou l’autre équation.
Par exemple, dans les équations
y — ax -M> , y — a'x-\-b',
on ne peut se donner qu’une solution commune, sans quoi les deux équations deviendraient identiques, et c’est ce qui aurait aussi lieu dans tout autre cas semblable.
APPENDICE AD LIVRE IV
APPENDICE AU LIVRE IV
PROPOSITION I. — PROBLÈME
Résoudre U équation générale du troisième degré à une inconnue , et discuter les racines.
On a prouvé que l’équation générale du troisième degré peut être ramenée à la forme
x3+-px-+-q = 0. (1)
Pour résoudre cette équation, le moyen le plus simple consiste à introduire deux indéterminées y, z, en posant x—y-\-z, ce qui change (1) en
yi+^-JrZyz{y-\-z)-Jrp{y-\-z)-->rq — 0 , ou (3yz-\-p)-j~q = 0.
Rien n 'empêche de partager cette équation dans les deux suivantes 3 yz-j-p = 0 , d’où yz — — i p (2)
et yM-z3H-g = 0 , d’où y'-t-z3 = — q.
L’avant-dernière donne
Il s’ensuit que y 3 et z3 sont les racines de l’équation du second degré
Qp) =0.
5 <28 ALGkBRE.
L’une de ces valeurs sera celle de y3 , l’autre celle de z3 ; ainsi y et z sont fournis par les équations binômes
On obtient de cette manière trois valeurs pour chacune des inconnues y et * , ce qui fournit neuf valeurs pour j+z. Cette multiplicité de valeurs tient à ce qu’on a élevé au cube 1 équation (2); d’ailleurs pour former les valeurs de x, il ne faut accoupler que des valeurs de y et z qui satisfont à cette même équation (2).
Or l’une des valeurs de y peut être représentée par
et une des valeurs de z
zzS/ -\q-]/ (^j+(V)-
Supposons que ces racines cubiques soient prises de façon que leur produit = — ^ p; nommons les m et n , de sorte que
mn — —
Nommons a
l’une des deux racines cubiques ima-
ginaires de l’unité; a? sera aussi une racine cubique de l’unité (p. 60); et comme a’ est imaginaire, ce sera la seconde racine cubique imaginaire de 1 . Il s’ensuit (p. 60) que les trois valeurs de y sont m , ma,, ma? ;
celles de z n , na , na1.
Cela posé comme a3 — 1 , et que mn — — ^ p > on n aura
pour x que les valeurs
m-+-n, m«+na% ma’H-nc.
APPENDICE \U LIVRE IV
Car maXna' — mna3 —mn — — -p,
On ne peut pas prendre # = m-|-na, parce que mXna n’est pas = mn ou — ~p; de même des autres.
Plusieurs cas se présentent quant à la nature des racines de l’équation (t) , et ces cas dépendent de la nature des racines de l’équation (2) qu’on nomme la réduite de l’équation (1).
1° La réduite a ses racines réelles, inégales; les valeurs dey3 et z3 étant réelles, y et z ont chacun une seule valeur réelle; le
produit yV étant égal à — p'j , il s’ensuit que le produit des
valeurs réelles de y et z est — -p; ainsi ce sont ces valeurs réelles qui représentent m et n; comme d’ailleurs
« = 2 et «’ = g :
on a pour x les trois valeurs x — tn-t-n ,
tn(— 1 — l/— 3) n(— 3) — m— n (m— n) L/ — -
Comme m est différent de n , par hypothèse , ces deux dernières valeurs de x sont imaginaires , et de la forme
2° Les racines de la réduite sont réelles et égales , c’est-à-dire ' que m = n; les valeurs de x se réduisent à
ALGkBUB.
Elles sont réelles; les deux dernières sont égales.
3° Les racines de la réduite sont imaginaires , c’est-à-dire que
q^j est négatif et peut être représenté par — â’i
Ainsi y3 — — q+dV' ,
zi= — dl/— 1.
Or la racine cubique de — - q+â^ — 1 est de la forme + (p. 7), de sorte qu’on aura
Donc on aura aussi
^^Zï = û?y|/Zî)3 - (a-)
Car l’équation (a) donne
1 q+dVZ\=p>-*Pf+\/~\ (3 P’Y-f),
d’où - 1 ? = /?3-3/Sy’ et d=3/?’y-y3;
et en vertu de ces deux dernières relations, l’équation (a1) devient identique.
De plus je dis que p+y^ — ï, P — y Ÿ — 1 forment un système de valeurs qui satisfont à jrz = — ^ p. Car
(/9+yl/ZÏ) (p-y 1/Zj) = /3*+y*,
quantité réelle; on ne trouverait pas un produit réel, si l’on multipliait l’une de ces valeurs de y et a par a ou a\
Ainsi les valeurs à prendre pour y et z sont
APPENDICE AU LIVRE IV. 53 1
1° y — 1, z—^—y^ —1, d’où x = 2 (j;
2° y=a(/94-yl'/— l), z — a'{fi— yl^—ï),
d’où x = fi(a-ha',)-hyl// — 1 (oc — et1);
3“ y = ct1(/9-l-yl/— \),z — a{fi— y^—î) ,
d’où x = — 1 (a1 — a).
l+l/Z3 l KZ3
Comme a = r , a1 = 5 ,
on a a-ha, = — l,a — a‘ — V/ — 3;
donc x— — /? — y^Z
et x — — fi+yV'z.
Concluons donc que dans ce cas les trois valeurs de x sont réelles.
La forme sous laquelle se présentent les valeurs dey et z ne permet pas de les employer dans ce cas au calcul des valeurs de x : c’est pour cela qu’on appelle ce cas le cas irréductible. Du reste on peut calculer par approximation les valeurs de x ; car p étant négatif, remplaçons-le par — p'; l’équation est x3 — p'x-\-q — 0. (b)
La condition pour que
ÿjP'3 <°-
soit négatif, devient
Or, si q est positif, l’équation (5) a deux racines positives et une racines négative; celte dernière étant seule entre 0 et — » ( on pourra la chercher. Quant aux deux racines positives, l’une
d’elles est comprise entre 0 et
--p\ Car x — 0 donne -\-q qui
est > 0, et x — 1/| p' donne ^ p' ^ p' —p' [/l^p'+q ou — | P' | /§/-Hf °u 2 ^ ^ p”-h \/\q' ) , quantité né-
gative puisque (c) donne - q' P'
ALGEBRE.
La seconde racine positive sera comprise entre j/ip' et-Hoo .
ima-
EnTésumé, si Q P^j + ^ 0, il y a deux racines ii
ginaires et une racine réelle;
Qp) +Q q ^ = 0, il y a trois racines réel-
les, dont deux égales;
réelles et inégales (v. p. 47).
S‘ (^pS)3 + (^g ) <0’ Ie8 trois racines sont
PROPOSITION II. — PROBLEME
Résoudre V équation du quatrième degré à une inconnue.
Nous prendrons l’équation sous la forme
xi~\-px'ï-+-qx-\-r=0. (1)
On en déduit x4-) -px* — — qx — r.
Pour la résoudre on va transformer chaque membre en un carré. A cet effet il faut ajouter au second membre un terme en x % tel que zx'1 , z étant indéterminé.
On a ainsi
x^-{~(p-{-z') x*= zx * — qx — r.
Complétant le carré, dans le premier membre, on aura
x^+(p-+-z)x:‘-h-(p-i-zy=zx'' -qx—r-tr-ip-ï-zy. (2)
Actuellement on peut déterminer z de façon que le second membre soit aussi un carré; la condition nécessaire pour cela est (1. 2, p. 35).
4*(j(p-hzy —rj=q\
ou z3-\-2pz,-\-z(p',~ 4r)— çJ=0. (3)
APPENDICE AD LIVRE IV
Par conséquent il y a trois manières d’arriver à la transformée cherchée , qui n’est autre que l’équation (2) , et qui , en vertu de la relation établie entre a , p, q, r, c’est-à-dire en vertu de (3) , se meL sous la forme
puisque le second membre de (2) est un èàrré en vertu de (3). L’équation (4) donne
,N-i<,+,)=±(*K'-,iiî) (5).
L’une de ces deux équations se change dans l’autre si l’on change -+- V z en — V z. Prenons donc le signe supérieur, et il vient
Nommons a’, z", z'", les trois racines de l’équation (3); on aura deux valeurs de x de la forme
Or on a z' + z" -+- a"1 = — 2 p, a’ a" a"' = q*
D’ou
et les deux valeurs de x deviennent
— a' — 2n=za"+a"' , 4= = ± ^ z" l/a’
ALGÈBRE
L’équation (3) ayant au moins une racine positive ; supposons que ce soit z1 ; il s’ensuit que , àr cause de j-^L= = ± V z" z"' , il
faut prendre devant Vz"z"' le signe supérieur si q 0 , et le signe inférieur si ^<^0, et en effet l’équation (3) ne change pas si l’on change q en — q , c’est-à-dire que nous résolvons à la fois les deux équations
x 5 px* ± qx -+- r == 0.
Pour fixer les idées nous supposons q^> 0; dans le cas contraire on changera a: en — x.
Nous avons donc
^-\\Vh±yi' ~ VT7')] ;
Car± Vz" + z'"-2V71^=±(V7 —VT) , comme on peut s’en assurer en élevant au carré de part et d’autre.
I)’un autre côté, si dans l’équation (5) on prend le signe inférieur, on trouve '
ou
Ainsi on a
x = ^(Vz'-hV7'-VT) .
x = J (V7 - VJ'+VT’)
x=~ {-VI1 -VT1 -VT).
Dans les expressions -K- V z' est une valeur absolue; quant à VI' y 7" , on observera que-f-l/ z" X-J-V z"’ doit donner un
résultat positif égal à -JU.
APPENDICE AU LIVRE IV
D’ailleurs ces valeurs de x , ainsi que celles de — x , ne font que se changer l’une dans l’autre, tout au plus, si l’on permute a' , z", z'" , de sorte que l’équation ô ne donne que huit valeurs pour x, quelle que soit celle des trois valeurs de z que l’on emploie.
Quant à la nature des valeurs dç x , elle dépend de celle des racines de l’équatioü (3) qu’on nomme aussi la réduite. Celle-ci offre les cas suivants :
1° Trois racines réelles positives; les valeurs de x sont réelles. * 2® Une racine positive et deux négatives inégales; les quatre valeurs de x sont imaginaires.
3° Une racine positive, et deux négatives égales; les deux premières valeurs de x sont réelles, les deux dernières sont imaginaires.
4° Une racine positive, deux imaginaires; si a", z'" sont ces deux-ci, elles sont de la forme
z" =k-^lV^-î, zw=k-l^^Â-, de même \/ z " et V' a"' seront de la forme
l/Zï,
Donc deux des valeurs de x sont réelles, les deux autres imaginaires.
La réduite (3). ayant son dernier terme négatif, ne peut offrir que ces quatre cas.
PROPOSITION 111. — THÉORÈME
La somme des puissances semblables des racines d’une équation peut s’exprimer en fonction des coefficients de celte équation.
Soit l’équation
fx =xm-\-p’,xm-' -hp,xm-'-h—-+-p.a-,x-+-pm ~ 0.
Soient a, , les racines. Représentons en général par
S„ la somme des puissances n de ces racines, c’est-à-dire
=«|n •+•<*»*+• • .+ Am"
ALGkBRE.
Il est prouvé (p. 1 , r.) que
Or, d’après la loi démontrée (p. 9, c. 1) , on a fx
xm- 34-..4-a,“ a
Par conséquent
fx , A
H- etc. . . .
contiendra
les parties suivantes :
1° Le terme xm~ ' répété m fois, ce qui donne mxm~' ;
2° La somme a?"-’ (a,+p,4-a,+p.+..4-am+p,) ou arm— ’ (S.-f-mjp,).
3° La somme
ou xm-3(SaH-/>,S,+/7ip3)
Et en général, n ne surpassant pas m — 1 , on aura 3ja— n— ,(aI,,-|-|)1a1“~ ‘-f- .. etc. .. +am”+p,am“— 'H-.. pD)
ou (Sn+p,S„l+pJSa,4- ...
La somme de ces mêmes parties doit être identique avec fx ou
mxm— l)p,a;"-*+(/n— 2)p1arn—3-|
