m— i»)pnxm-n
on égalera les coefficients des mêmes puissances de x de part et d’autre et l’on aura les équations S.-t-mp, =(m— l)p,
S,+S ,p,-\-mp, = (m—typ, etc.
S„ i S„ — ,p x | Sn — ->Pi 1“ . . • +mpD = (m—n)p0 , etc.
d’où S,-f-p, =0
S,-f-S,p,4-2pJ — 0 etc.
S„-+-S„,/>i-|-S„,/>I4- . . . -\-np„ — 0 »
APPENDIGE AU LIVRE IV
Celte dernière relation comprend toutes les précédentes; on peut y donner à n toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu’à m — 1. Pour former les sommes des puissances de degré supérieur à m — 1, on remarque que l’on a
0 —fa, = . .. -f-pni na1”-f- . . . -\-pm-,a,-\-pm.
Soit k un nombre entier quelconque; multipliant l’identité précédente par a,1, on aura aussi
de même
0 = a, “+k-| -p,a, ”+k-'+. . . 4-pra na, "+k+...+p,»aJk ,
0 = amm+i-\-p , aœm+k~ '+ . . . -+-pm-nam"+v-+-...-)-ptt,aJ‘.
La somme de ces m équations donne :
(2) f— p , Sra|l — , . — f— — ï+'.+Sm+V-Pm— n+”+Skpm,
Dans cette équation on peut faire k=. 0, et alors
On peut ensuite y faire k — 1, 2, 3 ... etc., de sorte qu’elle donne les sommes des puissances de tel degré qu’on veut , à partir de Sra.
Les équations (1) ci-dessus donnent, par des substitutions :
etc.
En continuant ainsi, on aura S4, S5, etc., en fonction des coefficients p,, elc.,pm.
Dans la formule (2) rien n’empêche de faire k égal à un nombre entier négatif; pour k— — 1 , elle devient
— 1 I p 1 Sm — -, | pftm~ — 3 I ••• I pm — , Sf,~-| p mS 1 — 0 ;
mais la dernière équation (1), si l’on y fait n — m — 1 , donne
Sin,-|-p1Sin,-|- +(m — l)pra— , =0 ,
retranchant, et n’oubliant pas que S„=m, on a
538 ALGÎiBRE.
On trouvera de même 2pm,-f-pIB 1S 14rp„S, = 0.
3pm— H-Pm— iS—i-f-pm— — 0.
etc.
Ces formules peuvent encore être trouvées par une autre voie. Car S i est la somme des puissances h des racines de/- = 0.
PROPOSITION IV. — THÉORÈME
Toute fonction rationnelle symétrique des racines d’une équation etc. = 0 peut s’exprimer au moyen des coefficients de l’équation.
Soient toujours a, , a,} ... am les racines de l’équation. Représentons par S(«„ aa) la fonction symétrique dont l’un des termes est «,“■ a ,*», et dont le nombre des termes est m(m — 1); si l’on fait a, = a, , les termes de cette fonction deviennent égaux 2 à 2 : car a,*> et a,“> m,a< deviennent égaux entre eux; ainsi le
nombre des termes de S (a, , a,) est — — .
De même la fonction symétrique à n lettres, n étant au plus ~m, sera représentée par S (a,, a, ... a„); ce,, a, ... a„ étant les exposants des lettres. Le nombre des termes de cette fonction est m“|— ’. Si deux des exposants deviennent égaux, le nombre
des termes se réduit à - mn|— ' ; si 3 exposants deviennent égaux ,
fjln I 1
il sc réduit à ^ ^ ; si h exposants deviennent égaux , k ne sur-
passant pas n, le nombre des termes devient — .
En général, pour former S (a, , a,,... ce„), il suffira de former les arrangements n à n des racines, puis de donner dans chaque arrangement à la première lettre l’exposant a,, à la seconde a., à la ne l’exposant a„.
Cela posé, connaissant la fonction symétrique à n lettres, nous allons prouver qu’on pourra déterminer celle qui a n-j-1 lettres.
APPENDICE AU I.IVBE IV
Pour cela on prend la fonction S(«, , a,, ... a„) et on la multiplie par ;
(1) Ou S(a, = a*< a** . . . an«»+ etc.
Le nombre des termes du multiplicande est ; le multiplicateur contient m termes; le nombre des termes du produit est donc mxm+'. Or à ce produit il y aura deux espèces de termes : 1° si on multiplie un terme du multiplicande par un terme du multiplicateur, terme formé d’une lettre qui entre déjà dans celui du multiplicande, on aura un résultat faisant partie d une fonction symétrique à n lettres : c’est ce qui arrive par rapport
à «,*■«, ** ... aB‘»nXa,*°+1 ; ce terme fait partie de
(3) S(a+a„4., , et, , CC3 , • • • , cfn) ,
et comme les deux facteurs (1), (2), sont symétriques par rapport aux m racines, le produit le sera; donc le produit contient toute cette fonction symétrique (3).
Le produit renfermera de même les fonctions
S(a, , CC-J, — 1 — OC n-f-1 , ... 5 ttn) 5 S(tt| , CZï , CC3 { CCn-^-i , . . . CCn) î • •
(4) S(ce, , a,, CC3, • ••, otn4— ccn-f.,)*
En second lieu, si l’on multiplie a,*- ... o„tt" par an+,“,’+' , on aura un terme de la fonction
(ô) S(a,, a, ,..., a„, an+1),
et cette fonction tout entière sera au produit, qui contiendra ainsi les fonctions (3) , (4) et (5). Je dis qu’il ne renferme que ces fonctions. En effet les fonctions (2) et (3) sont au nombre de n ; le nombre des termes de chacune est m”,— ' ; donc le nombre des termes de ces n fonctions réunies est nXm"+'. Quant à (5) , le nombre de ses termes est m(“+‘^— 1 ; donc le nombre des termes de ces fonctions (3) , (4) , (6) , réunies , est
nXmnl-,+/w(n+')1-'.
Or «(’+' I-1 =m(m— 1) ... (m-n-t-1) (m— n)=(m-»)Xmn|-'
ALGEBRE.
Ainsi le nombre des termes est
nXm°|-,+(m— n)Xmnl 1 = mXm" I-'.
Mais c’est là le nombre des termes du produit de (1) par (2) ; donc
(6) S(cct j tti, •••> cto) xS„n j i
= S(a,H-a„+I, a2, ..., aB)-+-S(a,, a2-\-a*+, , • ••» an)-(-etc. H-S (a, , et, , , ctnH-ctn-f.,) H~S(a, , a„ , . . . , aa> ctn-fi).
Cette relation fait connaître la fonction de n+1 lettres au moyen d’un certain nombre de fonctions de n lettres.
Si l’on y fait »= 1 , elle donne, en remarquant que S(a,)—SXl , et que le second membre contient n+1 termes.
S«,xS*, = S«,+x2-t-S(a,, a,); d’où
(7) * S (a, , ce,) = SXi xS^— S*i+->.
Faisant n~ 2, on a
(8) S (a, , a2) x Sa3=S(a,-f-a3, aa)-4-S(a , , a ,H-a3)H-S(a „a„a3).
De cette relation on lire S(a,, a, , aï) ; quant aux fonctions de 2 lettres qui y entrent (7), donne immédiatement S(a, , aï) ; cette même relation (7) do’nne, si l'on y remplace a, par a,H-a3,
S(cc,-}-cc3, aï) — Sai|a^. S^ Sg^g^gj,
De même S(a, , a2~haï) = S*, .S-j+*3— S-i4.»i+*3.
Avec cela (8) donne
— &x, XSaj XS„3 — S-i^iSj .S^J •S<J
Comme toutes les fonctions à une lettre se calculent au moyen de la proposition 3, les fonctions symétriques à 2, 3, etc. lettres, sont calculables. Or, toute fonction symétrique se décompose en termes qui renferment une, deux, etc. lettres, et ces termes se réuniront en fonctions de une, deux, etc. lettres, fonctions
APPENDICE AU LIVRE IV
qu’on pourra par suite exprimer au moyen des coefficients de l’équation. Quant aux fonctions fractionnaires, en réduisant tous les termes au même dénominateur, on aura aux deux termes des fonctions symétriques entières, qui sont calculables.
PROPOSITION V. — PROBLÈME
Étant donnée une équation fx = xm+p,a:ln— '+ ... -f-pm = 0, former , au moyen des fonctions symétriques , l’équation aux carrés des différences , l’équation aux sommes, etc.
Le premier membre de l’équation aux carrés des différences cpzz= 0 est une fonction symétrique des racines a,, a, ... de la proposée; par conséquent, pour calculer <pz, il ne s’agit que de le décomposer en fonctions simples , telles que celles qui ont fait l’objet des propositions (3) et (4). Pour faire ce calcul, soit l’équation aux carrés des différences représentée par
q)z = z°+P.z°— . + P„=0, ou u —
soient s,, -s,, s3 les sommes des puissances semblables des racines de l’équation en x; S, , S,, ... les sommes des puissances semblables des racines de l’équation en z. On a (prop. 3)
■Sa~\-S,p,-\-‘2pt — 0 I
S ! Sm-f-n — - Oz
Les équations (1) donneront les s,, s, ... en fonction de p,,p, ... pm; nous allons donner des formules qui détermineront les S, , S, ... S„ en fonction de A, , s, ... s,a, ensuite les équations (2) donneront P, , P, .. . Pa en fonction de S, , S, ... S„, et t pz sera connu. On a en général
S; = — «,)*'+(«, — — ara)”.
Si nous faisons yjx— (.r— a, )’'+(# — a,)aH-...-|-(.r — rtm)”,
P.H-Si = 0 l2P ,-f-P iS,-f-S, — 0
l«P„+P„, . S,-t-...-t-Sa = 0.
il vient ya ■ = («. — • • • “H/*' c“)"
yax = (a, —«,)*■+ • • • +(<*» — am)”*
etc.
Donc 2Si =
Or O— a, y =gji— 2fVi-,.a,+2'^2~~^~,a,,"±M;gia,i:i:" + 2t(2^-l)j.,a,,i,2.j.a,ai— ,+g..i>
en posant M= 1>2.3 ..77 *“ fïï
De même (a: — a,)a,=:ar,‘ — 2/a:”— 1 . £,-+■• • .±Mar'a,;-+— . |-a, , etc.
Donc 'ifjx — mx™ — 2ix"~' .s, -{ ^-3
Par suite
1 — — 2ia,%'~ 'jH 2 «i*,— ’J, — ••• ±MaI’j,-H ...
tr * U, a — iT^ai »
etc.
wa«
= mu.” — 2iau,*'—,s,4 ^2 — - • • ■ ±Mam‘j,^ • . •
- ( ■ ” dm S 3 ; — , v'2mcaS,i i 1 | Jai.
De là
■ya,+ . . . ou 2S; =
ms,i—2is2j — fSj—j r Sai— a^a ••• •••
. ^,S3i — a “ 2 1 S t S x\ — , | Tït-xSx j.
Remarquant que les termes également distants des extrêmes sont égaux, on trouve, en divisant par 2,
• /nN 0 2i(2i— 1)
(3) Si — wiiji— 2wai — f-* 2 * # *
APPENDICE AU LIVRE IV
C’est la formule cherchée.
Pour en donner une application , on va prendre l’équation
xi-\-px-\-q — 0.
Ici p, =0, p2—p, p3 — q, m = 3.
Les formules (1) donnent
s, = 0 , * ,+2p = 0 , ss-\-3q = 0 , f4+pf , = 0 , s5-{-ps}-\-qs, = 0 ,
*ff-f-p*4+îJ3 = 0,
d’où f, =0, sT~ —2p., s3 — — 3g , f4 = 2p’ , ss—6pq, s6= — 2p3-|-3ç\
Dans la formule (3), on fera successivement 1 = I, 2, 3, et on aura
s3=: 3 s6 — 6f5i.-l-i5f4.ij— lO.f3X.f3 = — 66p3— 81g\
Au moyen de ces valeurs , les formules (2) donnent P. =— S. = Gp,
2P, = — S,— S.P. = -f-18p’ et P, = 9p’ ,
3Pa = — S3— SjP, — S,Pj = 81p3H— 12g“ et P3 = 27p3+4g*. L’équation aux carrés des différences est donc z^ — ! — 6pzM — 9p’z — ( — 2 7 p3 1 14 q* — 0 ,
comme on l’a trouvée (p. 67, c.).
S’il s’agit de former l’équation aux sommes, on peut opérer d’une manière semblable.
Les racines de cette équation étant
n.-j-Uj, a,-\-a3, ..., flm-i-Hflmi
et l’équation cherchée
On cherchera S. , S, , . . . , S*.
En général S. = (a, -(-3,)'-)- . . . 4-(am,-t-am)‘.
Posant 1 px —
on aura
2Sj-f-2'(a.i-Hi,‘+ . . . = rpa,- (- . .. 4 -Xfja^.
d’où 2Si = ipa,-i-yja2-+- ... — 2'f,.
ALGÈBRE
Avec cela le calcul ne souffre pas de difficultés.
Supposons qu’on demande l’équation qui a pour racines toutes les valeurs que prend F (a, , a,) , si l’on remplace successivement a,, a,, par deux quelconques des racines a, , . . am , d efx — xr“-+-p,xm-~ . . . = 0.
Si F est symétrique par rapport à a, et a ,, le degré de l’équation cherchée est - »i(m — 1), sinon il est m(m — 1). L’équa-
lion cherchée est
[y — F (a,, a,)] [y— F(a, , a3)] . . . [y— F(am, ,am)] = 0 ; .
ce produit est une fonction symétrique de a,, a, , aa; on l’effectuera, puis ayant reconnu les fonctions symétriques à 2, 3 , etc. , lettres, qu’il contient, on pourra l’exprimer en fonction des coefficients de l’équation en x.
Remarque. On a appliqué la théorie des fonctions symétriques à l’élimination ; cette application , dans le cas où les équations ont une certaine forme, est sujette à quelques difficultés, que lève complètement la théorie de l’élimination exposée, prop. 55, etc., d’après le commandant Labatie; d’ailleurs les calculs auxquels la méthode des fonctions symétriques conduit, deviennent fort longs , si les équations sont de degré élevé.
PROPOSITION VI. — PROBLÈME
Trouver la somme des puissances m d’un certain nombre de termes consécutifs d’une progression arithmétique.
Soient t,, t, les termes de la progression, d la différence. On aura en général
fî-H — U-\-d ,
d’où *,-*-■ =<,,"+,+(m-Hl)f.ni.d+
t3m+‘ = <,ra4-'+(m+l)<,"'d-f.
etc.
Z'dM- .. -M"
APPENDICE AO LIVRE IV
Maintenant représentons en général par Sa la somme
et ajoutons membre à membre les n — 1 équations précédentes; remarquant que t,1"-)- • •• -+-/«— i", = S1!1 — f„“, on aura
t£+' = <r+,-t-(m-|-l}d(Sm — /„m)
.d’(Sm,— f, ,— ■)+ ... 4-(n— l)d'".
Cette formule donne Sm en fonction de Sm, , Sm, , etc., S, ; on en lire
Supposons d — 1 , et faisons m — 2; la formule devient t 3—t 3 1
Or S0 = /,°4-
Supposons de plus
d’où t„ — n, et S,=r 1+2+., -f-n
puis S, — n‘-{~
SnM-Sn’-H» rt(rH-l) (2w— J— 1)
Telle est la somme des carrés l-f-2’-f-3H-, etc. , +n\
On peut trouver de même la somme des calculs , etc.
Exemple t. Trouver le nombre des boulets d’une pile rectangulaire.
Soit A-+1 le nombre des boulets de la file supérieure, n le nombre des assises.
La file supérieure contient /<— |— 1 boulets;
ALükBRE.
La deuxième assise conlient 2 files, chacune de A--+- 2 boulets, ou (A+2)2.
La troisième assise contient 3 files, chacune de A--+-3 boulets, ou (*+3)3.
La ne assise contient n files, chacune de k-\-n boulets , en tout (*+n)n.
Donc le nombre total des boulets sera
*+l+(A+2)2+(A+3)3+ . . . +(*+ra> ,
ou /r — 1 — 2A" — | — 3/r — 1 — . . . -\-nk +I+2M-3H -+-»’•
La première ligne donne ;
n(re+l) (2n+l) 6 : ;
la seconde ligne donne la somme est { 2n+l+3/.- J.
Si la base de la pile est carrée, la file supérieure ne contient
qu’un boulet; on fera donc k = 0 , et l’on aura g
pour le nombre des boulets.
Exemple 2. Trouver le nombre des boulets d’une pile triangulaire. A
La base est un triangle équilatéral dont chaque côté contient
autant de boulets qu’il y a de couches ou assises.
La couche supérieure contient 1 boulet ;
la seconde en contient
la troisième une file de plus, ayant un boulet de plus 6 ;
la quatrième «
la cinquième
etc.
Le nombre des boulets de la nc est la somme 1+2— (— 3— 1-... n(n+l) n’ n
Ainsi il faut trouver la somme
fl V\ 12 2*\ , /3 3A (n nA
n. ^ | ^ , 3 | É n 1—f— 2—1—3— f- .. 4-n ra(«+t)
, 2’ , , n’ l’+2’+3*+..H-n> n(»H-l)(2iH-l)
Donc la somme totale est
