ABC X M ’ ^ M’ 3 M

il faut que l’on ait à la fois

Or on a pu démontrer, immédiatement après la division, que si un polynôme V contient une quantité v , et qu’il devienne nul par l’hypothèse v — et , V sera divisible par v — a; d’où il résulte que A, B, C , M doivent être divisibles par d. %

On appliquerait facilement le même raisonnement aux cas dans lesquels on aurait plus de trois équations.

2. L’inconvenient qui vient de nous occuper, quoique peu grave par lui-même, suffit pour autoriser à donner la préférence à la méthode de Berout, laquelle consiste à multiplier par des quantités indéterminées toutes les équations moins une, à les ajouter membre à membre et à en retrancher celle qui n’a point été multipliée. On obtient ainsi une équation, dans laquelle on suppose égaux à zéro les coefficients de n— 1 inconnues , et qui n’en conserve par conséquent plus qu’une seule. Les suppositions faites fournissent n — 1 équations qui servent à trouver les valeurs convenables des indéterminées , et l’on ramène ainsi l’élimination entre n équations à l’élimination entre n — 1 autres.

Mais, quand on applique celte méthode absolument telle que

Bezout l’a donnée, et que je l’ai indiquée plus haut, il peut, dans de certains cas, se présenter une difficulté facile à expliquer, mais qu’il vaut mieux éviter. Je me bornerai à considérer un système de trois équations.

Soient, par exemple , les trois équations

2x+3jH-6a =17,

Supposons que nous ayons multiplié la première par m, la seconde par n, et que, de leur somme, nous ayons retranché la troisième: nous trouverions l’équation

(2m-+-4n— 5)x-4-(3m-+-6n-t-4)y'+(5/n+7n— 2)a= 17m-+-31n — 9 , et si, cherchant d’abord la valeur de z , nous posons 2m-)-4n = 5, 3m-(-6n = — 4, ces équations donneraient

et en effet les deux équations en m et n, qui peuvent se mettre sous la forme

sont évidemment incompatibles.

Il semblerait donc, au premier abord, que les équations proposées le sont également, et cependant il est aisé de voir , par la substitution, qu’elles sont satisfaites, quand on y fait x=3, y = 2, z— 1. On serait ainsi fondé à croire que c’est la méthode qui est fautive, et effectivement la difficulté dont il s’agit résulte bien de ce qu’en suivant, à la lettre, le procédé tel qu’il. a été indiqué par Bezout, on opère d’une manière trop particulière. Si nous avions, en effet, multiplié chacune des équations par une indéterminée en nommant p la troisième, on aurait eu

55o - ALGÈBRE,

et les deux équations de condition

qui donnent

et par conséquent pxzO. Or, dire qu’il faut multiplier la troisième équation par zéro , c’est dire qu’il ne faut pas l’employer : donc cette troisième équation est inutile pour la détermination de z.

Si nous examinons en effet les deux premières , nous voyons que la seconde peut s’écrire sous la forme

et la première étant

il suffit de multiplier celle-ci par 2, et de retrancher pour faire disparaître à la fois x et y.

C’est ce que le calcul nous dit encore; car p étant = 0 les deux équations de condition se réduisent à

qui donne m — — 2 n; donc, si l’on prend n = l, on aura m = — 2. Or, multiplier la seconde équation par 1,’ c’est la laisser telle qu’elle est ; multiplier la première par — 2 et ajouter, c’est la même chose que la multiplier par 2 et retrancher.

En général , il est donc plus avantageux , pour éviter de semblables difficultés, de multiplier chacune des équations par une indéterminée , en en laissant une arbitraire. On y trouve d’ailleurs un nouvel avantage , en ce que l’on peut disposer de celte indéterminée pour simplifier le calcul.