LIVRE PREMIER

dizaines de fj* et 20 a(3 sera 9 , on sera certain que la première tranche à droite est <^(3'- C’est ce qui arrive dans le carré de 18, ou ^’=64 et 20 a (3 = 160 ; la somme des chiffres de dizaines est 12, et il ne reste à la première tranche que 24 , dont la racine carrée est 4 , au lieu que le chiffre des unités de la racine est 8. Si le nombre n’est pas un carré, la même chose peut arriver : on en voit un exemple dans 300 = 17 +11.

Ainsi la racirife carrée de la tranehe de droite peut être ou ; elle peut aussi être (3 , comme dans la racine carrée de 100 ou de 225 ; mais on ne sait pas d’avance quel est celui de ccs trois cas qui a lieu pour un nombre donné.

Remarque 2. Les chiffres de la racine, à partir du second se trouvent par une division qui peut fournir un quotient trop grand. Cette erreur a une limite qui est de trois unités pour le second chiffre, et se réduit à une unité pour chacun des chiffres suivants. En effet soit k un nombre plus petit que 10000, mais plus grand que 100; soit a le chiffre des dizaines, b la partie restante de la racine; on aura A=l00a+-20a6+5\ Pour avoir b à une unité près, on divise 20 ab-\-b' par 10, puis par-2a,

b' rx

c’est-à-dire par 20a : le quotient exact est b so't

la partie entière de b , y la différence b — (3 ; ce quotient est

/J + y+ -, et la partie qu’il s’agit de trouver est (3 ; la limite

de l’erreur possible est donc y+-^—- , ou y <Tl. Mais a n’est

jamais moindre que 1, b est toujours + 1; donc on a pour

(/?+iy

limite de l’erreur, l’expression 1 | ■ avec quoi il faut

remarquer qu’on ne prend jamais plus de 9 pour quotient.

Or si (3—9 , l’erreur est nulle , par cela même qu’on ne met

jamais

plus de 9 au quotient; 1 | '* ' serait ici 1-

ou 6;

Si /9 = 8, l’erreur est au plus 1

ALci-BRF.

d’un autre côté 1-

Sê±1Y<x ,8Vfi

Si /? — 7 , l’erreur est au plus 2 ;

«H-QVl ,64rr

S' /9 — 6, l’erreur est au plus 3;

<1+2~ôV*

Si /9 = 5, l’erreur est au plus 4;

A partir d’ici lH ^ — qui diminue avec fi , sera donc 3.

Ainsi de/9 — 9 à /9 = 6 l’erreur ne saurait surpasser 3 parce qu’on ne met pas plus de 9 au quotient, etde/9 = 6à/9 = 0;

elle ne saurait surpasser 3, parce que devient < 3.

Et en effet si l’on cherche la racine carrée de 288 , on a pour premier chiffre 1 et le dividende qui fournil le second chiffre est 18, de sorte qu’en le divisant par 2, double du premier chiffre de la racine, on trouve 9, 'tandis que le second chiffre doit être 6. — L’erreur est donc 3.

D’ailleurs on voit que si 1 > l’erreur ne surpassera

pas 1; or, tant (pie /9<^8, elle n’est en effet pas^>t; ainsi la plus forte valeur de /9 , pour laquelle elle puisse être 1 est

fi— 7 ; partons donc de — — <0 d’où a^> — ou^>3; donc si

«^4, l’erreur sur fi ne surpasse pas une unité; à fortiori si a

se compose de plus d’un chiffre. D’ailleurs si a — 2, on trouve que l’erreur ne surpasse pas 2.

Remarque 3. A cause de ces erreurs possibles, on estime souvent par aperçu le chiffre de la racine , en le prenant au-des-