Trouver m nombres x, , x3, ...,xm, d’après les condi

tions suivantes :

Si au 1er on ajoute k, fois la somme des autres, on obtient a-, ;

Si au 2e

idem

Si au 2e

idem

etc.

Si au me

idem

^UJ*

On prendra pour inconnue auxiliaire la somme

soit / cette somme. Si l’on pose

on aura /:

et a;, = - 7 (Jt,y — a,), etc.

42. Un père, en mourant, partage son bien entre seS enfants de la manière suivante :

Le 1er doit avoir une somme a et la me partie de ce qui reste.

Le 2e

idem

Le 3e

idem

etc.

’ . Le nc

idem

etc.

Il se trouve que toutes les parts sont égales ; quel est le bien total , la valeur de chaque part, et le nombre des enfants ? " Pour résoudre ce problème , on représentera avec Euler , par x le bien total , par pn la part du rang n , par sn, la somme des parts précédentes , et l’on aura

x — — an

p„ — an-\

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PROBLEMES ET EXERCICES

d’où

jpn-H» — Pn

Cette relation prouve qu’il est permis de faire pn+l—pa, c’està-dire de supposer les parts égales : car cette hypothèse introduite dans (1) donne pn=a(m — 1), quantité qui est en effet indépendante de n *.

* Je ferai observer que celte solution n’a pas tonte 1a généralité possible , si on ne suppose pas p„ = p„+ En effet l'éqnation (1) est une équation aux différences finies, dont l’intégrale est

p. = om— i.+C(— ) ,

C étant arbitraire.

Les parts sont donc

etc.

jj— -a

Pour avoir x . on se sert de l’equalion p, = <H qui donne

Quant au nombre des parts, si on le nomme x. pour le trouver, on fera la somme des parts

B(m— 1)+C.(!!LJ)\

Celte somme devant être égale à x , on a

a(m -l)--f-C(m-i) = az(m -l)-h(m -1) C . |^1 — J*

Voilà donc une équation entre C et x. On pourra donner à x telle valeur entière poiilice qu’ou voudra, cette équation donnera C.

ALGÈBRE