SCR LE TROISIÈME LIVRE

67. Prouver que si deux nombres comprennent les mêmes chiffres significatifs, dans tel ordre et avec tant de zéros qu’on veut, la différence de ces nombres est divisible par b — 1, b étant la base de la numération.

68. De combien de manières un nombre entier peut-il être décomposé en deux facteurs entiers positifs, le nombre de tous ses diviseurs étant 2 n, ou 2n-+-l?

69. Un nombre entier est exprimé par m chiffres dans le système dont la base est b ; combien aura-t-il de chiffres dans celui dont la base est b'?

70. Deux mobiles, séparés par une distance d, vont à la rencontre l’un de l’autre; les chemins parcourus par le premier dans la première, la seconde, la troisième, etc. minutes, sont a, a-\-a, a-f-2a, etc.; ceux que parcourt le second sont de

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PROBLEMES ET EXERCICES. 565

même temps, sont b, ô-f-2/9, etc. Au bout de combien

de' minutes se rencontreront-ils?

71. Deux mobiles partent en même temps d’un même point d’une circonférence dont la longueur estC; les conditions du mouvement sont celles du problème précédent. Quelle est la condition pour qu’ils se rencontrent avant d’avoir parcouru C; quelle est l’époque de celte première rencontre, et quelle est l’époque de la n* rencontre?

72. Dans une progression arithmétique ou géométrique de 2 n termes, la somme des extrêmes est A, le produit des moyens est B; quelle est la progression dans chacun des deux cas?

73. Dans une progression géométrique de n termes, la somme des n — 1 premiers termes est A; celle des n — 1 derniers est B; quelle est la progression ?

74. Dans une progression géométrique de cinq termes, la somme des termes de rang impair est A, celle des termes de rang pair est B ; trouver le moyen terme , puis la raison.

7 5. Dans One progression géométrique de 2n termes , la somme des termes de rang pair est A, celle des termes de rang impair est B; quelle est la raison et le premier terme?

76. La population d’une ville augmente tous les ans du vingtième de ce qu’elle est au commencement de l’année. Au bout de combien d’années sera-t-elle doublée ?

77. Un bsfril renferme 100 litres de vin; on en soutire un litre qu’on remplace par de l’eau ; de ce mélange on soutire encore un litre qu’on remplace par de l’eau, et ainsi de suite. Combien restera-t-il de vin pur dans le baril après le cinquantième soutirage?