I-IVRE PREMIER
Sous du quotient; mais dans ce cas on est exposé à prendre un chiffre trop petit; on s’en apercevra ,' parce que le reste que fournit ce chiffre sera plus grand que le double de la racine trouvée. En effet, soit a la racine, N le nombre proposé, le reste est N — a’; supposons le plus grand que 2 a; ilsera donc au moins égal à 2a -1-1 , et l’on aura
N— a’\>2a-|-l, d’où aM-2a~f-l , ou à, (a-f-1)’.
Donc, N contenant le carré de a- 1-1 , il est évident que a n’est pas la .racine du plus grand carré contenu dans N; donc a est trop petit.
Remarque 4. Lorsqu’on connaît plus de la moitié des chiffres de la racine carrée, on peut trouver tous les autres en divisant le reste par le double de la racine trouvée. Car soit a la valeur absolue de la racine trouvée, a contenant au moins n-f-1 chiffres : on
aura 10°; soit x ce qui reste à trouver ; on suppose que x
n’a pas plus de n chiffres , et par suite x 10". Puisque a doit être suivi encore de n chiffres, sa valeur relative est «10" et la racine est a. 1 0n— |— ar ; donc le nombre proposé est (a. 10"-(-x)J=: «’.10'"-f-2a.l0nx-l-a:’ , et le reste, après qu’on a ôté le carré de a. 10", est 2axA0"-\-x'’ ; soit R ce reste, on aura 2a.lO”..r=:R — x 1 , et divisant par 2«10",
Nommons q la partie entière du quotient de R par 2«.10" et R' le reste,' il vient
ou x — q—
Or R' est plus petit que le dividende 2a.l0"; x est 10" qui est <fa, donc x.x ou x ’ est <^a.l0”, et à fortiori <^2a. 10”. Par conséquent R' — ar’ est aussi plus petit que 2a.l0", et la valeur absolue de x — q est moindre que 1'; donc q est, à moins
ALGÈBRE
d’une unité près , la valeur de x, partie restante de la racine , et celte racine est, à une unité près, 10 a.a+q.
Reste à reconnaître si q est supérieur , égal , ou inférieur à x.
Or, la relation x
montre que
1“ Si x~f>q , x — q étant positif, R' — x5 le sera; ainsi R' sera ^>x’ et à fortiori ^q*.
2° $i x=q, on a R'=x’=qf’.
3° Si x<^q, On aura R' <^x’ et à fortiori <^<7’.
Donc réciproquement selon que R' sera f>q % — <7% <^q' , x est^>ç , =zq, ou et par suite si q%<^ R' , la racine obtenue est approchée en moins, si <7’=R' elle est exacte, si q'f> R' elle est approchée en plus.
Remarque 5. Il y a certains caractères auxquels on reconnaît qu’un nombre entier n’est pas un carré parfait.
1° Un nombre entier ne saurait être un carré parfait, s’il est terminé à droite par 2, par 3, 7 , 8, ou par un nombre impair de zéros, ou par un â qui n’est pas précédé d’un 2. Car si un nombre entier est un carré parfait, sa racine est terminée par des zéros ou par un chiffre significatif: dans le premier cas, le carré doit avoir à sa droite deux fois autant de zéros que la racine; dans le second cas, ce carré est terminé par le dernier chiffre à droite du carré des unités : mais parmi les carrés- des chiffres 1 , 2 ... 9 , il n’y en a aucun qui se termine par l’un des chiffres 0 , 2,3, 7 , 8 ; donc le carré ne peut se terminer ni par un nombre impair de zéros, ni par 2, 3,7,8. Enfin si le carré est terminé par un 5, la racine doit l’être aussi, vu qu’aucun autre chiffre n’a à droite de son carré un 5; donc la racine est de la forme 10fl-f-5, et le carré est 100aI-f-100rt-|-25, ce qui montre que ce carré est un nombre de centaines, plus 25; il est donc terminé par 25.
2° Un nombre pair ne saurait être un carré , s’il n’est divisible par 4. Car soit 2 n un nombre pair, son carré est 4 n' , nombre divisible par 4. Soit 2n-\-\ un nombre impair, son carré .est 4n’+4n-)-l , nombre qui est impair. Donc parmi les nombres pairs il n’y a que les multiples de 4 qui soient des carrés.
.3° Un nombre impair ne saurait être un carré si diminué de 1 ,
