Trouver les conditions nécessaires pour que l’équation

2"+P,z“— ... -|-P„ = 0, soit une équation aux carrés des dif-

férences, et former l’équation xm-\-p,xm~ *-f- . .. -\-pm — 0 qui reproduit la première.

89. V Si x = a annul efx,f'x,f'x, ...f '—'x, sans annuler aucune des dérivées suivantes, prouver que, h étant infiniment petit, la série des fonctions fx,f'x, etc., jusqu’à la dernière dérivée, offre pour x — a-y-h, i variations de moins que pour x — a — h.

2° Si x — a annule/*”'#, /t"^’)# .../("+i— ')x , sans annuler aucune des fonctions précédentes ni suivantes, la séri cfx,fx, etc., jusqu’à la dernière dérivée, offre pour x — a-\-h , un nombre pair de variations de moins que pour x — a — h.

De là on déduit le théorème de M. Budan, savoir : que si dans la séri cfx.fx, etc. , on fait successivement x — a, x=ft , a étant on perdra un nombre pair de variations de plus

que l’équation fx — 0 n’a de racines réelles entre a et /?.

90. Former deux équations en x et y, telles qu’à y —a répondent les valeurs x = (3, x—fi', x — fi", et qu’à y— y répondent x—y, xxzy’,x — y". (Question indéterminée).

91. Trouver les conditions nécessaires pour qu’une équation ait deux racines égales et de signes contraires.

92. Exprimer que xi-\-px*-\-qx-\-r — 0 a ses trois racines égales.

93. L’équation x‘,-\-px3-\~qx',-y-rx-\-s = 0 , a scs quatre racines en proportion arithmétique, il s’agit de l’abaisser.