LIVRE PREMIER

il n’cst un multiple de 4. Car , comme on vient de le reconnaître, un nombre impair ne peut être le carré que d’un nombre impair, et dès lors ce carré est de la forme 4n*-)-4/H-l , c’est-à-dire qu’il est un multipie de 4, augmenté de 1.

PROPOSITION XXXV. — PROBLÈME

Extraire à une unité près, la racine m d’un nombre entier N.

Si le nombre proposé ne surpasse pas 10m, sa racine m sera l’un des nombres 1,2,3, 10.

Supposons N))>10m; sa racine m sera ^>10; soient a les dizaines, b la partie restante de la racine, on aura N=(t0a-(-é)", et, par la formule du binôme (p. 28)

N— 10m.an'+m.l0n‘— ,.a1°— {.^.10m--,.am— ’ôM- ...-t-ô"

Or, 10m.a", ou la puissance m des dizaines, est un nombre terminé par m zéros; soit N, le nombre formé par les m derniers chiffres à droite de N, N' ce gui reste sur la gauche; on a N=N'10"H-N, , et la partie 10ra.am sera contenue tout entière dans N'.IO", en d’autres termes, am est contenu dans N'. Donc

D’un autre côté, puisque ô<^10, N sera <^(10a-|-t0)m ou que 10n,(a+l)m ; donc à fortiori N'. 10m<^10"l(aTf-l),n, et N'^^ûH-I)'”. Par conséquent, a est la racine m de la plus grande puissance m contenue dans N'. Donc pour avoir a, il suffit d’extraire, à une unité près, la racine m de N' qui a m chiffres de moins que N. Supposons-la trouvée.

De N on retranchera 1 0ra.an‘ : soit R le reste qui se compose de /n.lO1"- ‘.a"- 'b-\-, etc. Si on divise ce reste par m.lOm-1a'"—,, le quotient exact sera au moins égal à b , et le quotient, pris à une unité près, sera égal ou supérieur à la partie entière de b, partie qui forme le chiffre des unités. Or, pour avoir, à une unité près, le quotient de R par m.10'” — ’.â™- 1 , on peut diviser d’abord R par 10"“ — ’, c’est-à-dire en séparer les m — 1 derniers chiffres à droite , puis diviser par mam - 1 ce qui reste à gauche. Soit

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le quotient à une unité près; pour reconnaître si 10«+/? n’est pas trop grand , on en forme la puissance m , et l’on opère comme à la racine carrée.

On saura donc extraire la racine m d’un nombre donné, si l’on sait trouver celle d’un nombre qui a ni chiffres de moins que le nombre donné. Or, on sait extraire la racine m d’un nombre qui ne surpasse pas 10ra; donc on saura trouver celle d’un nombre qui ne surpasse pas ÎO2"1, 103m,etc., c’est-à-dire d’un nombre entier quelconque.

Soit donc à extraire la racine m d’un nombre N qui a plus de m chiffres; on fera abstraction des m chiffres à droite, et on extraira , à une unité près, la racine m de ce qui reste à gauche; à cet effet , si ce nombre de gauche a encore plus de m chiffres, on fait abstraction de ses m chiffres de droite, et ainsi de suite. On est donc conduit à décomposer le nombre en tranches de m chiffres à partir de la droite, la tranche la plus avancée à gauche pouvant avoir moins de m chiffres. Soient^ , N , N^elc., N. , N. ces tranches, de sorte qu’en les écrivant chacune à la place que lui assigne la numération , on a

Ces lettres, écrites à la suite l’une de l’autre, ne désignant pas ici un produit, mais un. seul nombre, comme si l’on écrivait, par exemple, les nombres 467 et 854 à. la suite l’un de l’autre.

La racine de N contient des dizaines, et, pour les avoir, il faut chercher, à une unité près, la racine m dcNjNj ... N.j N„; mais la racine de ce nombre contient aussi des dizaines, et pour les trouver il faut prendre, à une unité près, la racine de N. N. ...N, et ainsi de suite. On sera donc conduit ainsi à cher-

ii — i j

cher, à une unité près , la racine de N. N; , et pour l’avoir, on cherche d’abord celle de N; ; soit c. cette racine qui sera le chiffre des dizaines de la racine de NjîL . De ce nombre, on ôtera la puissance ni de lO.e., et à cet effet on ôte c.m de N. , et à côté du reste, que je nomme R., on abaisse N. ; on divise le nombre RjN. par m.(10.ci)““1; le quotient, pris à une unité près