LIVRE PREMIER

en moins, sera au secon'd chiffre de la racine. On le placera donc à droite de c.; on fera la puissance m du nombre représenté par ces deux chiffres; si celte puissance m ne surpasse pas N. , ce chiffre est bon; sinon, on le diminue de une ou plusieurs unités , jusqu’à ce que la vérification se fasse ; soit le second chiffre ainsi trouvé; c.c. . sera la racine de N.N. et contiendra toutes les dizaines de la racine de N.N; N; . Pour trouver les unités de cette racine, de N N; on retranche (cici i)“> ^ côté du reste R. , on descend N.2 et on divise R; K 2parm(10.cici 1)“— ', et ainsi de suite. On remarquera que diviser en général par m.(10.À)ra -1 ou wi.10id s’il ne s’agit que d’avoir la partie entière du quotient, revient à séparer d’abord sur la droite m — 1 chiffres ;' ainsi, chaque fois qu’on a abaissé une tranche de m chiffres, on en supprime les m — 1 derniers à droite, ce qui revient à n’abaisser que le premier chiffre de gauche de cette tranche.

Ainsi : partagez le nombre proposé en tranches de m chiffres à partir de droite, la dernière de gauche pouvant en contenir moins de m. Prenez, à une unité près en moins, la racine m de cette tranche ; ce sera le premier chiffre de la racine. De cette même tranche , ôtez la puissance m de ce chiffre et à droite du reste placez le premier chiffre de gauche de la tranche suivante ; divisez le nombre ainsi formé par m fois la puissance m — 1 du premier chiffre de la racine; placez le quotient , nombre entier moindre que 10, à droite du premier chiffre de la racine, et faites la puissance m du nombre ainsi obtenu ; si elle peut s’ôter des deux premières tranches , ce quotient est le second chiffre de la racine; sinon, on le diminue d’une unité et on répète la même vérification, etc., etc.

Si le nombre proposé est composé de i tranches, c’est qu’il est 1 0mC* — O et 10mi ; la racine m est donc comprise entre

1 0> — i et 10'; elle a donc i chiffres.

Ai.GfcnnK.

Exemple. Extraire la racine cinquième

de 60697872.

Après avoir séparé les cinq premiers chiffres à droite , on cherche la racine cinquième de 606 : à cet effet, on forme les puissances 6 des nombres 1,2...., jusqu’à 9 , s’il le faut : on

trouve que 606 est compris entre 35 et 45; ainsi ^ 606, à une unité près, est 3, qui sera le premier chiffre de la racine; de 606 on ôte 243 = 35 ; à droite du reste 363 on écrit le premier chiffre 9 de la tranche suivante, et l’on divise 3639 jiar cinq fois 34, ou 405 : le quotient est 8; mais ce chiffre est trop grand , parce que 385 60697872, il en est de même de 7, pour 6 on

trouve 365=60466176. Ainsi ce chiffre est bon et 36 est la racine cherchée, à moins d’une unité près.

Remarque 1. On reconnaîtra ici , comme p. 34, r. 1 , que le chiffre des unités simples ne pourrait être trouvé immédiatement, au contraire de celui des unités de l’ordre le plus élevé.

Remarque 2. En raisonnant comme à la rem. 2, p. 34 , on reconnaîtra aussi qu’en prenant dans tous les cas le plus grand quotient au-dessous de 10, on ne peut, dans l’extraction de la racine cubique, se tromper de plus de quatre unités sur le second chiffre, ni de plus d’une unité sur les chiffres suivants; on trouve de plus que si le premier chiffre surpasse 6 , l’erreur sur le second ne saurait surpasser une unité; si le premier chiffre surpasse 2, elle ne saurait surpasser deux unités; si le premier chiffre surpasse 1 , elle ne surpasse pas 3.

Remarque 3. Si pour le deuxième, troisième, etc. , chiffre, on ne prend pas le quotient le plus grand, il peut se faire que ce chiffre soit trop petit : nommant a la racine trouvée, on verra que le reste correspondant, pour être bon, doit être moindre que (a-|-l)m — ctm; car si ce reste, qui est N — am, est égal ou

supérieur à (cc-f-l)” — cem, c’est que N est ^ (cH-l)ro. Donc la racine m de N est au moins a-j-1 et non pas et.