LIVRE PREMIER

fectuant sur ces nombres toutes les opérations indiquées sur les lettres , et faisant abstraction du signe de ce terme. Par exemple , si dans — 4 a?/»'2 on remplace a par 5, b par 3 , a* devient 53 ou 125 , b2 devient 9; or 4x125x9 vaut 4500 ; telle est la valeur absolue de — 4 a352.

Définition 8. Si dans un polynôme on attribue à chaque lettre une valeur absolue, qu’on fasse d’un côté la somme des valeurs absolues des termes positifs, y compris le terme qui n’a pas de signe, s’il y en a un, de l’autre la somme des valeurs absolues des termes soustractifs, et qu’on retranche la plus petite somme de la plus grande, le reste, abstraction faite de tout signe, est la valeur absolue du polynôme. Nous supposerons, jusqu’à nouvel avis, que nos polynômes représentent des nombres absolus, c’est-à-dire que la somme des valeurs absolues des termes additifs n’est pas moindre que celle des termes soustractifs.

Il résulte de ce qu’on vient de dire, que la valeur numérique d’un polynôme ne change pas si l’on change l’ordre des termes, pourvu que l’on conserve à chaque terme son signe, celui qui n’a pas de signe étant censé avoir le signe -+-.

Définition 9. Des termes sont dits semblables s’ils ne diffèrent tout au plus que par le signe et le coefficient; tels sont -\-Adlb, — 5 aP-b.

Définition 10. Pour indiquer que deux quantités sont égales, on les sépare par le signe = (égal à). Deux expressions séparées par ce signe forment une égalité. Le signe signifie plus grand que, signifie plus petit que. Deux expressions séparées par

ou <^, constituent une inégalité.

PROPOSITION I. — THÉORÈME

Tout polynôme qui renferme des termes semblables peut être réduit à un moindre nombre de termes.

Supposons qu’un polynôme contienne les termes -f-7 cPb , — 4 dlb , -1-2 a2b , — 3 a2b. On peut d’abord rapprocher tous ces termes et les écrire dans l’ordre suivant, en tête du polynôme 7 a26-f-2a25 — 4«2ô — 3a2ô.

Or 7a25-f-2a25, c’est la quantité a'2 b prise 7 fois et augmentée

ALGEBRE.

de cette même quantité prise 2 fois, ce qui fait 9 fois celte quantité d2b , ou 9a2ô.

De là on doit retrancher 4 fois a2b et encore 3 fois a2b, c’està-dire 7 fois dl b , et il restera 2 cflb.

Supposons qu’outre ces termes le polynôme contienne encore — 7ô3-f-463; il s’ensuit que 2 a2b doit être augmenté de 4 fois b3 et diminué de 7 fois la même quantité b3 ; or, ajouter 4 fois une quantité pour la retrancher 7 fois, c’est-à-dire 4 fois et 3 fois, revient évidemment à la retrancher 3 fois , et donne 2a2ô — 3 b3.

Remarque 1. Remplacer ainsi plusieurs termes semblables par un seul terme, cela s’appelle opérer la réduction. On voit que pour cela on peut réduire le premier des termes semblables avec le second; s’ils ont le même signe, on ajoute les coefficients et on donne à la somme le signe commun; car — 3 «4ô2 — 5rt4ô2, indique que de la somme des valeurs des termes additifs, on doit retrancher «462 d’abord 3 fois, puis 5 fois, ou en tout 8 fois , ce qui revient à écrire — 8«4ô2. Si les termes semblables que l’on compare sont de signes différents, on retranche le plus petit coefficient du plus grand , et on donne au reste le signe du plus grand, car -f-3a364 et — 7 a3 b* indiquent que «3ô4 doit être ajouté 3 fois et retranché 7 fois, ce qui revient à le retrancher 4 fois , en écrivant — 4a3bl.

Il est évident que deux termes comme -i-4a2ô — 4 à2 b reviennent à zéro. On exprime cela en disant qu’ils sc détruisent.

On peut continuer ainsi de chaque terme au suivant jusqu’à épuisement de tous les termes semblables entre eux, et traiter de même séparément , tous les systèmes de termes semblables.

Remarque 2. Dans les raisonnements de la proposition 1 , on a supposé que les coefficients sont entiers. '

Définition 11. L’addition algébrique a pour but de trouver un polynôme dont la valeur numérique soit égale à la somme des valeurs numériques de plusieurs .polynômes donnés, quelles que soient les valeurs des lettres qui y entrent, mais avec les restrictions indiquées aux définitions 7 et 8.

PROPOSITION II. — THÉORÈME

Pour faire l’addition de plusieurs polynômes, il suffit d’écrire les termes de ces polynômes à la suite les uns des autres , avec