LIVRE PREMIER

leurs signes respectifs, ceux qui n'ont pas de signe étant censés avoir le signe -f-.

En effet, soit c-\~d — e à ajouter à a+b; s’il s’agissait d’ajouter c+d, on ajouterait d’abord c, ensuite d, ce qui donnerait a-f-ô-HH-d; or ce n’est pas c-\-d tout entier qu’il faut ajouter, mais c-4-d diminué préalablement de e; ainsi ce qui a été ajouté à a-\~b est trop grand de e , donc la somme a+5-j-c-f-d est trop grande de e, et pour la corriger il suffit d’en retrancher e; ce qui donne a-f-5-f-c-f-d — e.

Remarque 1. En arithmétique, effectuer une opération, c’est faire les calculs nécessaires pour représenter le résultat sous forme d’un seul nombre; en algèbre les opérations sont dites effectuées, lorsque le résultat est réduit à une série de monômes dont chacun peut être regardé comme lié avec le précédent ou le suivant par le signe H-ou — . La somme des quantités a-yb et c-f-d — e, peut être représentée aipsi a-j-5-f- (c-f-d — e); l’opération est effectuée si l’on écrit a-f-ô-t-c-f-d — e.

Remarque 2. S’il s’agit d’ajouter entre eux des polynômes qui contiennent des termes semblables, au lieu de les écrire à la suite les uns des autres, on peut. faire immédiatement la réduction.

Dans l’exemple ci-contre les termes 4a, 2a et

— 6 a donnent a* — 5 b, -f-4 b et 3 b donnent

-f-2 b ; enfin -f-3c, — 5 c et — 6c donnent — 8c.

Définition 12. La soustraction a pour but de trouver un polynôme dont la valeur soit égale à la différence des valeurs de deux polynômes donnés, quelles que soient les valeurs des lettres qui y entrent.

PROPOSITION 111. — THÉORÈME

Pour retrancher un polynôme d’un autre, il suffit de changer les signes de tous les termes du polynôme à soustraire et de les écrire à la suite de Vautre polynôme.

Si de a il faut retrancher 5-f-c — d, je dis que le reste est a — b — c-f-d. Pour le prouver il suffit de montrer qu’en ajoutant ô-f-c — d à ce reste, on retrouve a; or, l’addition donne a — b — c-f-d-f-i-f-c — d, ou, réduction faite, a. .

ALGÈBRE

Remarque. Au lieu d’effectuer la soustraction, on peut aussi l’indiquer ainsi : a — (A-f-c — d).

Définition 13. Multiplier une quantité algébrique par une autre, c’est en chercher une troisième dont la valeur soit égale au produit des valeurs des deux autres, quelles que soient les valeurs des lettres qui y entrent.

PROPOSITION IV. — THÉORÈME

Pour faire le produit de deux polynômes , on multiplie chaque, terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur, abstraction faite des signes de ces termes; de plus , si les deux termes qu’on a multipliés ont le même signe. On donne à leur produit le signe -+-; sinon on lui donne le signe — .

1“ Soit «-f-A à multiplier par c-\-d; le produit, qu’on peut représenter par (a-+-A) (c-^-d) sera égal à ac-\-bc-\-ad-\~bd. Supposons d’abord a, b, c, d commensurables; si c et d sont des nombres entiers, il faudra faire une somme de c-\-d nombres égaux à a-f-A, somme qui renfermera c nombres égaux à o-f-A , et de plus d nombres égaux à a-\~b. Or, une somme de c nombres égaux à a-\~b contiendra c fois a , -|-c fois b, c’està-dire sera ac-^-bc ; de même d fois «H-A donne ad-\-bd; donc le produit est ac-+-bc-\-ad-\-bd. .

Supposons maintenant que c , d ne soient pas entiers, mais commensurables. On pourra les représenter par deux fractions

de même dénominateur, -, -, dont les termes sont entiers;

i . i . h—{-~Jf h~\—/c

c-\-d sera égal a . Multiplier a-\-b par , c est chercher

un nombre qui soit compose avec a-f-o comme 1 1

est avec

l’unité; si donc au lieu du multiplicateur , on prend A-f-A

qui est n fois aussi grand , ou qui contient n fois autant de par-

ties de l’unité que , le produit obtenu sera n fois aussi

grand que (a-|-A)x

. Or ce nouveau produit (a-f-A) (A+A) ,